提到數學，可能有不少人會眉頭壹皺，仿佛回到那個掉落鉛筆的午後，撿起來就再也聽不懂數學老師的推導了，著實讓人焦慮、惆悵。在學校所學的數學知識看上去不過是壹堆沈悶的規則、定律和公理，我們在中學學了三角函數，到了大學又學了微積分，但是，大部分成年人在他們的日常生活中，能有幾次用到余切函數或是不定積分的時候？那我們為什麽還要學這些由前人傳下來看起來又不容置疑的數學呢？
在這本《魔鬼數學》中，作者 摒棄了復雜的專業術語，用現實世界中的逸事、基礎的方程式和簡單的圖表，來講述數學的魅力，以及如何獲得用數學原則解決生活中問題的技巧。 喬丹?艾倫伯格認為，數學是人類最重要的基礎科學之壹，也是生活中最有用的思維工具。 數學可以幫助我們更好地了解這個世界的結構和本質，應該被放在每個有思想的人的工具箱裏，特別是在當下的大數據時代，我們更需要借助數學思維的力量，用於更好地解決問題，規避謬誤和錯誤的方法。
書的壹開始作者就提出壹個觀點， 數學知識可以分為四個象限，我們只需要重點關註其中的壹個象限就行。
第壹個象限是 簡單而淺顯 的數學知識。這些數學知識看起來更為復雜，但從理解的難度上來講，其實也是非常簡單的。
第二個象限是 復雜但是淺顯 的數學知識。這些數學需要壹些解題技巧，需要更細心，但是，這些仍然只是淺顯的數學知識。我們在學校裏花費了大量的時間學習解題技巧，其實對於領會數學的美並沒有幫助，相反，可能還讓我們對數學倒了胃口。
第三個象限是 復雜而且深奧 的數學知識。這是專業從事數學研究的人感興趣的領域，要想進入這個領域，需要壹定的數學天分，而且必須非常投入，付出艱辛的努力，壹輩子孜孜以求。我們普通人可能只能在門口往裏面瞄壹眼，裏面的神秘世界是什麽樣子的，我們並不清楚。這個領域的知識是供我們這些普通人膜拜的。
最值得學習的是第四個象限的數學知識，也就是 簡單而深奧 的數學知識。 簡單，是因為這都是入門的知識；深奧，是因為這些知識是違反我們的直覺的，或是需要我們更縝密地推理的 。比如，對隨機性的理解、對因果關系的理解、對回歸的理解，都屬於這壹類。這裏作者舉了壹個 “消失的彈孔” 的故事 ：如果需要給戰機加裝裝甲，參考作戰後返航的戰機，應該加裝在彈孔密集的機身，還是彈孔較少的引擎部位呢？二戰期間美國軍方的統計研究小組成員亞伯拉罕·瓦爾德認為，需要加裝裝甲的地方不應該是彈孔多的機身，而應該是彈孔少的引擎。為什麽會是這樣呢？先從壹個理論假設來看。從理論上來說，飛機各個部位中彈的概率應該是壹樣的。那麽，為什麽返航的飛機機身上的彈孔比引擎上的彈孔更多呢？換言之，引擎上本來應該有的彈孔去哪裏了？瓦爾德認為，這是因為引擎被擊中的飛機都墜毀了。回來的飛機，機身上盡管留下了很多彈孔，卻仍然能夠經得住打擊，所以才能安全返航。打個比方來說，如果我們到戰地醫院去統計受傷的士兵，妳會發現，腿部中彈的士兵肯定比腦部中彈的士兵要多。腦部中彈的士兵很少能夠活下來，腿部中彈的士兵才有更大的概率存活。這就是所謂的 “幸存者偏差” ，也就是說， 我們只看到了幸存下來的，卻沒有看到那些已經失敗和消亡的。
所以這本書主要講的，就是介紹怎麽運用了第四象限的數學方法分析和解決日常生活的問題，作者用寓教於樂的案例與方法，幫助我們重新認識了5個與數學有關的概念，分別是： 線性、推理、回歸、存在和期望值 。
要想預測未來，最好的辦法是從 確定性 開始。經濟學家經常要做預測。有壹個笑話說，經濟學家最喜歡幹的事情就是預測，但是最不在行的事情也是預測。如果要預測短期或者要預測長期相對容易，但最難的是預測中期。
預測短期和長期的時候會有更大的確定性，因為最簡單的辦法就是線性外推。 線性外推的方法是說今天發生了什麽，明天還會發生。在現實世界中，確實有很多現象是線性變化，或者是類似線性變化的。比如人的衰老，信息的增長，中國的工業化和城市化的不可逆發展。在線性的趨勢中，我們還可以再分辨出 硬趨勢 和 軟趨勢 。 硬趨勢是妳可以測量或者感知出來的趨勢；軟趨勢是妳似乎可以看得到，似乎可以預測出來的推測。 比如二戰結束後大批美國軍人回國，出現嬰兒潮，所以人口數據是我們看得見、可預測的硬趨勢；而人們本來認為戰後企業訂單會暫時減少，經濟因此出現衰退，可是並沒有發生預想的經濟衰退，這就是壹種更難預測的軟趨勢。
相對來說， 預測短期和預測長期技術難度相對較小，而預測中期更為復雜。 不說別的，在中期會有更多的波動，而這些波動的轉折點是很難預測的。比如，即使妳知道股票存在著泡沫，但泡沫什麽時候崩潰是很難預測的。即使妳知道股價被低估，但被低估到什麽時候會出現反彈也是很難預測的。
所以，在預測中期趨勢的時候，壹定要慎之又慎。在預測中期趨勢的時候，噪音更多，規律更復雜。我們會遇到 波動 ，又會遇到 周期 。所以盡管線性趨勢是最簡單最直觀的，但是我們還要提醒自己， 不是所有的現象都是線性趨勢。盲目地應用線性趨勢，有時會得出非常荒誕的結論。
再舉壹個例子。最近在討論 特朗普減稅 的時候，媒體經常會提到 拉弗曲線 。 拉弗曲線講的是，隨著稅率的提高，稅收壹開始會增加，但是稅率太高，會影響到人們的勞動積極性，稅率會減少，稅收反而會減少。 拉弗曲線是對的嗎？從數學的角度來看，拉弗曲線可能是對的。拉弗曲線指出，稅率和稅收的關系並非是線性的。從常識上解釋稅率和工作意願的關系似乎也說的通。但是為什麽大部分經濟學家對拉弗曲線嗤之以鼻呢？
因為 拉弗曲線缺乏堅實的理論基礎 。首先， 稅率不壹定是決定政府稅收收入的最重要因素 ，提高稅收收入更有用的辦法可能是提高征稅效率。再者， 減稅之後，人們的工作積極性也不壹定就會提高 ，畢竟影響人們工作積極性的因素是很復雜的。 有兩個因素決定了我們工作的積極性，壹個是基礎因素，壹個是動力因素。金錢收入只是基礎因素，而動力因素則包括挑戰性，獲得認可感、責任感和個人成長等等。
大部分經濟學家並不是說拉弗曲線的形狀不對，而是說，我們在 看待稅改的時候不能簡單用事 。現在，美國高收入的稅率遠比20世紀絕大部分時間要低得多，也就是說，幾乎沒有經濟學家認為美國現在正處在拉弗曲線的下行區域。
如果 簡單地評估壹下特朗普減稅的效應 的話，特朗普減稅對美國經濟的影響未必像有壹些朋友想象的那麽大。第壹， 特朗普減稅並不是發生在美國經濟處在相對低迷的時期 。經濟學告訴我們，只有在經濟低迷的時候，減稅對經濟增長的刺激作用才更加明顯；第二， 特朗普的減稅明顯帶有“劫貧濟富”的色彩 。這會加劇美國的貧富差距，使得本來已經撕裂的美國社會更加分化；第三， 如果在減稅的同時沒有減少政府的支出，很可能會導致美國的債務壓力越來越大。
但是美國通過減稅來讓跨國公司的海外利潤回流， 資本外流的壓力、人民幣重回貶值通道、被動減稅的壓力、資產價格泡沫可能面臨的被動萎縮，留給我們中國“獨善其身”的時間還有多久呢？ 這壹次先不講太多，等到後面關於“大國博弈”的讀書模塊，再來細說（容我先充充電再分享，捂臉hhh）
某壹天，妳突然接到壹位來自巴爾的摩的股票經紀人的郵件，推薦了壹只承諾壹周後會漲的股票，妳沒有理睬，之後的十周裏，他每周都推薦壹只新的股票，而妳驚喜地發現他預測的股票居然全都漲了，那麽第十壹周，妳會選擇購買他的股票嗎？這就是非常著名的 “巴爾的摩股票經紀人” 的故事。然而，妳或許會覺得神奇，甚至是奇跡的事情，巴爾的摩股票經紀人連續十次猜對股票的漲跌，卻是壹場背後隱藏著概率的騙局。知道了方法，股市白癡也很容易就能實現，因為收件的對象不止壹個。只需要在第壹周發出10240份郵件，壹半收件人的郵件預測這只股票漲，另壹半做相反預測；下壹周，後壹種收件人就不會收到郵件了，余下的5120人分兩批繼續收到對半分的不同預測郵件，以此類推到了第十周，只剩下10個人會連續收到十周預測準確的郵件，妳猜他們會怎麽想呢？所以我們在做數學推理的時候要以這個故事為戒： 面對大數據的分析必須小心翼翼，二次方程的根可能不止壹個，同壹個觀察結果有可能產生多種理論，讓我們誤入歧途的不是事情的真偽，而是推理的時候漏掉了某種假設。
“推理”這壹章還提到了 “零假設”和“顯著性檢驗” 兩個非常有意思的概念。
零假設是假設毫無效果，或假設絲毫不起作用，或是假設沒有任何相關關系。我們在做研究的時候，要從零假設開始，然後通過做實驗，或是搜集數據，看看能不能推翻零假設。 怎麽推翻零假設呢？這要用到顯著性檢驗， 顯著性檢驗其實是壹種模糊的歸謬法。
歸謬法 的思路是，為了證明某個命題不正確，我們先假設該命題是真的，然後，我們看看能不能推導出來什麽結論，如果這個結論明顯是錯誤的，那麽，該假設就是假的命題。也就是說，我們 先假定假設H為真，根據H，某個事實F不成立，但是，F是成立的，因此，H不成立。 然而在大多數研究中，我們 不可能如此斬釘截鐵地得出結論 ，所以顯著性檢驗出現了。
我們先假定假設H為真，根據H得到某個結果為O的可能性應該非常小，但是，很不幸，我們看到事件O發生了，因此，H成立的可能性非常地小。 比如，我們假定S先生是工作積極認真的，如果他工作是積極認真的，那麽，在工作時間發現他打王者榮耀的概率就會很小，可是，我們卻發現，此人確實曾有過該開重要的會議了，他還在打王者榮耀，那這說明什麽？說明我們原來的假設，也就是說，他工作積極認真的假設很可能是錯的。
所以顯著性檢驗可以分成 四步 ：
1、開始實驗；2、假定零假設成立；3、觀察實驗結果中出現事件O的概率，我們把這個概率稱為P值。P值反映的是零假設成立的可能性；4、如果P值很小，我們就認為實驗結果滿足零假設的可能性很小，妳可以通過這種歸謬法判斷，妳原來想檢驗的猜想具有統計學上的顯著性。如果P值很大，我們就得承認零假設還沒有被推翻。
當然， 顯著性檢驗也有潛在的陷阱需要註意 ：
1、P值多小才是顯著的呢？在 顯著性與非顯著性之間並沒有壹條涇渭分明的界限 。
2、 我們不能假設壹種因素壹定會有影響力。如果我們太想得出有影響力的結論，就可能會操縱實驗。
3、 不要誤解“顯著性” 。很多科學術語都有誤導，顯著性這個詞就是典型的例子， 要分清作用“顯著”和“有效”的區別 （論文寫作要點get√）。
研究表明，身材高的父母生出身材高的孩子的概率不是百分之百。實際上，父母和孩子的身高是受到回歸效應影響的。 在時間縱軸上受影響、具有隨機性的事物，無不遵循這壹規律。只要數據足夠大， 人類的身高或者智商， 都有趨於平均值的回歸性 ，這就是我們熟悉的 “大數定律” 。舉個栗子，大型醫院裏每年同壹性別嬰兒的出生率會比小型醫院的更接近50%，妳覺得呢？
“少數服從多數” 原則簡單明了，看似公平，但也 僅在涉及兩種觀點時才能取得最佳效果 ， 只要觀點多於兩種，眾口難調，大多數人的喜好就會有自相矛盾的地方 。所以可以這樣說， 民意是根本不存在的東西 ，更準確地講， 只有在大多數人意見壹致時民意才會存在。 如果按照邏輯辦事，就經常需要違背大多數人的意見，對於政治家來說，對不壹致的民意進行合理運用才是職責所在，只需讓大部分人滿意就可以了。
彩票的購買價值和獲獎價值是不同的，購買價值是妳購買壹張彩票所用的金額，而 獲獎價值是引入概率論之後彩票的真正價值 ，我們可以用 期望值 來表達。壹個彩票的期望值只有在低於購買價值的時候才是不值得購買的，如果高於購買價值，當妳的購買量達到壹定數量的時候，彩票是值得購買的。
數學思維其實是我們的壹種本能，與語言其實是同宗同源的 。我們的祖先曾經生活在樹上，經常需要在樹枝間跳來跳去，他們需要很好的三維空間意識。當他們到了開闊的草原上，需要判斷距離的遠近，這就要求有二維空間意識。隨著他們的生存環境變得越來越復雜，我們的祖先開始具有判斷因果關系的意識。但是，為什麽自然而然出現的數學思維，最終並沒有固化到我們的日常思維中呢？為什麽我們大部分人還是覺得數學太難了呢？這裏的關鍵是 抽象 。
抽象是數學的工具箱中最具有威力的工具。只要有機會，數學家就會嘗試抽象。到最後，他們就會徹底忘掉真實世界，專註於抽象的定義和概念。 所以作者才會說，孩子們開始放棄對數學的學習有兩個時刻，壹是接觸到分數的時刻，壹是學習代數的時候，是兩次階躍性的抽象過程。 抽象可以分為四個層次，“眼見為實”、“想到為實”、“眼見為虛”、“想到為虛”。 最後壹種， “想到為虛”才是數學思維的層次。數學對象是全然抽象的，它們同現實世界沒有簡單或者是直接的聯系。數學，是壹種在抽象之上再抽象的層次 ，比如我們最早在加減法接觸到交換律和結合律，延伸到乘法，再到幾何，再到函數、集合、矩陣，如果學的數學系，還會考慮在什麽時候下，群能滿足交換律。 數學的本質是壹以貫之的，它就是壹種關於模式的科學，有的模式相對簡單，有的模式相對復雜，復雜的模式不過是模式的模式，甚至是模式的模式的模式 ，於是，我們就開始糊塗了。 我們可以把數學設想為壹個由樂高積木搭成的雄偉建築。盡管看起來非常復雜，但如果仔細去看，妳會發現它是由壹個壹個簡單的模塊拼裝起來的。數學的本質思想就是簡單的東西是復雜的，而復雜的東西其實是簡單的。 這就回到這本書的主題了，我們為什麽要學習簡單而深奧的數學知識。
看過 “拉弗曲線” ，就能理解稅率與政府之間的關系；知道 “線性中心主義” ，才清楚 “按比例換算” 原來那麽荒謬； “大數定律” 就是那只不講情面的、無法抗拒的手； “比盤子還大的餅狀圖” 反映了“真實但是不準確”的數字錯位……這些數學常識告誡我們，必須要註意數學出現的場合，離開了附著的情境，數學就會成為有心人的工具，政治選票、市場數據、盈利報告，這種那種，它們往往用繁瑣的、累疊的數字來包裹，能夠破解它們的就是數學思維培養出的洞察力，這就是作者想要告訴我們的。
以上。