自相似原理和叠代生成原理是分形理論的重要原理。它表示分形在通常的幾何變換下是不變的，即尺度無關性。自相似是基於不同尺度的對稱性，也就是遞歸。分形體中的自相似性在統計意義上可以是相同的，也可以是相似的。標準的自相似分形是壹種數學抽象，它叠代生成無限精細的結構，如Koch雪花曲線和Sierpinski地毯曲線。這樣的規則分形只有少數，大部分是統計隨機分形。
分形維數作為分形的定量表征和基本參數，是分形理論的另壹個重要原理。分形維數又稱分維或分數維，通常用分數或帶小數點的數字表示。長期以來，人們習慣於把點定義為零維，把直線定義為壹維，把平面定義為二維，把空間定義為三維。愛因斯坦將時間維度引入相對論，從而形成四維時空。多方面考慮壹個問題，可以構建壹個高維空間，但都是整數維。數學上，歐氏空間中的幾何對象被不斷拉伸、壓縮、扭曲，維數不變，這就是拓撲維數。然而，這種傳統的維度觀受到了挑戰。Mandelbrot曾經描述過壹個繩球的維度:遠距離觀察繩球可以看作壹個點(零維度)；從近處看，它充滿了壹個球形空間(三維)；再近壹點，妳會看到繩子(壹維)；再往微觀裏說，繩子就變成了三維柱，三維柱又可以分解成壹維纖維。那麽，這些觀測點之間的中間狀態呢？
很明顯，繩球和三維物體之間沒有確切的界限。數學家豪斯多夫在1919年提出了連續空間的概念，即空間維數可以連續變化，可以是整數，也可以是分數，稱為豪斯多夫維數。寫成Df，壹般表達式為:K=LDf，也稱K=(1/L)-Df。取對數，整理得到Df=lnK/lnL，其中l是壹個物體沿各個獨立方向膨脹的倍數，k是原物體的倍數。很明顯，Df壹般都是分數。因此，Mandelbrot也將分形定義為Hausdorff維數大於或等於拓撲維數的集合。為什麽英國海岸線無法精確測量？因為歐幾裏得壹維測度與海岸線的維度不壹致。根據Mandelbrot的計算，英國海岸線的維度是1.26。利用分形維數，可以確定海岸線的長度。
分形理論是非線性科學的前沿和重要分支，也是壹門新興的交叉學科。作為壹種方法論和認識論，其啟示是多方面的:壹是分形整體與局部形態學的相似性啟發人們通過認知部分認識整體，從有限認識無限；第二，分形揭示了整體與部分、有序與無序、復雜與簡單之間的壹種新形式和新秩序；第三，分形從特定的層面揭示了世界普遍聯系和統壹的圖景。
=============================================
分形理論及其發展歷程
被稱為自然幾何學的分形理論是現代數學的壹個新分支，但其本質是壹種新的世界觀和方法論。它與動力系統的混沌理論相結合，相輔相成。它承認，在某些條件下，世界的某些地方可能。在過程中，在某壹方面(形狀、結構、信息、功能、時間、能量等。)，它表現出與整體的相似性，它承認空間維度的變化既可以是離散的，也可以是連續的，從而擴大了視野。
分形幾何的概念最早是由美籍法國數學家Mandelbrot在1975年提出的，但最早的工作可以追溯到1875年。德國數學家K.Weierestrass構造了壹個連續但處處可微的函數。集合論的創始人G .康托爾是德國數學家。
1890年，意大利數學家G .阿砣構造了壹條曲線來填充空間。
1904年，瑞典數學家H.von Koch設計了壹種類似雪花和島嶼邊緣的曲線。
1915年，波蘭數學家W.Sierpinski設計了類似地毯和海綿的幾何圖形。這些都是解決分析和拓撲學問題的反例，卻是分形幾何的源頭。
1910年，德國數學家F.Hausdorff開始研究奇異集的性質和數量，提出了分形維數的概念。
在1928中，G.Bouligand將閔可夫斯基的能力應用於非整數維，從而可以很好地分類螺旋。
盒維數是由龐特裏亞金在1932中引入的。
在1934中，A.S.Besicovitch對Hausdorff測度的性質和奇異集的分形維數給出了更深入的見解。他在Hausdorff測度及其幾何的研究領域做出了重要貢獻，並由此提出了Hausdorff-Besicovitch維數的概念。此後，這方面的研究工作並沒有引起更多的關註，先驅者的工作只是作為反例在分析與拓撲的教科書中流傳。
二
1960期間，Mandelbrot在研究棉花價格變化的長期行為時，發現了價格在大尺度和小尺度之間的對稱性。同年，在研究信號的傳輸誤差時，發現誤差傳輸和無誤差傳輸在時間上是按照康托爾集排列的。在對尼羅河水位和英國海岸線的數學分析中，也發現了類似的規律。他從尺度變換的角度總結了自然界很多現象的對稱性。他稱這類集合為自相似，其嚴格定義可由相似映射給出。他認為歐氏測度不能描述這類集合的本質，轉而研究維數，發現維數在尺度變換下是不變的，主張用維數來描述這類集合。
從65438年到0975年，Mandelbrot用法語出版了分形幾何學的第壹本書《分形:形狀、機會和維度》。這本書又用英語出版了。它集中了Mandelbrot在1975之前對分形幾何的主要思想。它將分形定義為Hausdorff維數嚴格大於其拓撲維數的集合，並總結了根據自相似性計算實驗維數的方法。由於相似維數只對嚴格自相似的小集合有意義，Hausdorff維數是廣泛的，但在很多情況下很難通過計算得到，因此限制了分形幾何的應用。
1982年，曼德爾布羅的新書《自然的分形幾何》出版。分形被定義為在某種程度上與整體相似的集合，並再次討論了盒維數。它比Hausdorff維數更容易計算，但稠密可數集的盒維數等於集的空間維數。為了避免這壹缺陷，Tricot (1982)引入了填充維度，
在1983中，P.Grassberger和I. Proch提出了壹種根據觀測記錄的時間數據序列直接計算動力系統吸引子維數的算法。
1985年，Mandelbrot提出並研究了自然界中廣泛存在的自仿射集，它包括自相似集，可以用仿射映射嚴格定義。在1982中，F.M.Dekking研究了遞歸集。這類分形集是通過叠代過程和嵌入方法生成的，範圍較廣，但維數研究非常困難。德金獲得維數的上界。1989年，鐘等人解決了德金猜想，確定了壹大類遞歸集的維數。
隨著分形理論的發展和維數計算方法的逐漸完善，1982之後，分形理論逐漸被應用於許多領域，並且越來越廣泛。建立壹種簡單、通用的維數計算方法來滿足應用開發的需要，仍然是壹項艱巨的任務。
自然界中的分形與概率統計和隨機過程密切相關。給確定性的經典分形集加上隨機性，會產生隨機康托集、隨機柯奇曲線等隨機分形。1968年，Mandelbrot在研究布朗運動的隨機過程時，將其推廣到與分形相關的分數布朗運動。在1974中，他提出了分形滲流模型。在1988中，j.T.Chayes給出了詳細的數學分析。從65438到0984，U.Zahle通過隨機刪除得到了壹個非常有趣的分形結構。隨機分形能更真實地描述和模擬自然現象。
三
動力系統中的分形集是近年來分形幾何中最活躍、最引人入勝的研究領域。動力系統的奇怪吸引子通常是由非線性函數和非線性微分方程叠代產生的分形集。1963年，氣象學家E.N.Lorenz在研究流體的對流運動時，發現了第壹個以他命名的奇怪吸引子，這是壹個典型的分形集。
1976年，法國天文學家M.Henon在考慮標準二次映射叠代系統時，得到了enon吸引子。它具有壹些自相似性和分形性質。1986年，Lawwill將Smale的馬蹄形映射轉化為Lawwill映射，其叠代下的不穩定流形的極限被整合為壹個典型的奇異吸引子，其與水平線的截面為壹個康托集。在1985中，C. Greppo等人構造了壹個二維叠代函數系，其吸附界為Wilstrass函數，得到了盒維數。在1985中，S.M.MacDonald和Greppo獲得了三種類型的分形吸附:
(1)局部不連通分形集；
(2)局部連通的分形擬圓；
(3)它既不是局部連通的，也不是擬圓的。前兩者具有準自相似性。
動力系統中的另壹種分形集來自復平面上解析映射的叠代。這項研究由G.Julia和P.Fatou於1918-1919發起。他們發現解析映射的叠代把復平面分成兩部分，壹部分是正常圖譜，另壹部分是Julia集(J集)。他們在處理這個問題的時候沒有電腦，完全依靠自己固有的想象力，所以智力成果有限。在隨後的50年裏，這壹領域幾乎沒有取得進展。
隨著使用計算機做實驗，這壹研究課題又獲得了活力。1980年，Mandelbrot用計算機繪制了第壹幅以他的名字命名的Mandelbrot特別收藏(M收藏)圖。1982 A.Douady構造了壹個帶參數的二次復映射fc，它的Julia集J(fc)隨參數C的變化呈現出各種分形圖像，如著名的尤迪迪爾、聖馬可吸引子等。同年，D.Ruelle得到了J-集與映射系數的關系，解決了解析映射擊中集的Hausdorff維數的計算問題。L.Garnett得到了J(fc)集的Hausdorff維數的數值解。在1983中，M.Widom進壹步推廣了壹些結果。整函數叠代的研究始於正規圖1926。1981年，M.Misiuterwicz證明了指數映射的J集是復平面，解決了正規圖提出的問題，引起了研究者的極大興趣。發現超越整函數的J集與有理映射J是有區別的，在1984中，R.L.Devanney證明了指數映射Eλ的J (Eλ)集是康托叢或復平面，J(fc)是康托塵或連通集。
復平面上使J(fc)成為連通集的點C構成Mandelbrot特殊集。H.Jurgens和H-O.Peitgen認為，M集的性質壹直是並將繼續是數學研究中的壹個巨大問題。通過數學理論與計算機圖形學實驗的結合，以及H.Hubbard等人在該領域開展的基礎研究工作，在解決這壹問題上取得了很大進展，加深了人們對M集的認識。在1982中，Dodi和Hubbard證明了M-集是連通和單連通的，人們推測M-集是局部連通的。目前每壹張計算機圖都證實了這個猜想，但是還沒有人能夠證明。不清楚m是否是弧連通的。M集邊界的維數也是值得研究的問題之壹。
M-set不僅將J-set分為連通和不連通兩類，還充當了無限J-set的圖形表，即放大M-set的C點周圍的圖形是與C點相關的J-set的壹個組成部分，然而這壹發現的數學秘密至今尚未確定。譚磊(1985)證明了每個Mihewitz點的相鄰M集和相關J集之間存在相似性。Eugene等人在M集靜電勢的研究中獲得了類似自然形態學的分形圖像。目前，包括尤金在內的許多研究者都致力於借助計算機活動視頻來探索M集。其他分形集的研究工作正在取得進展。在1990中，Dwayne通過數值實驗觀察到M-set的復圖由許多周期不同的周期軌道的穩定區域組成。在1991中，黃永年用他的代數分析方法證明了這壹事實，並研究了M集及其廣義周期軌道的全局解析特征。
Basle (B.M.Barnsley)和S. Demko (1985)引入了叠代函數系統。j集等許多分形集是某些叠代函數的吸引集，其他方法生成的分形集也可以用叠代函數系來逼近。1988年，Lawwill通過數值研究發現畢達哥拉斯樹花是壹個叠代函數系的J集。Basle等人在1985中研究了帶參數的泛函系統的叠代動力系統，得到了M個集合D，D，M之間的連通性差，在壹個線性映射系統的叠代下，可以產生壹條著名的分形曲線——Gemini曲線。1986年，水谷等人研究了它的動力系統。
壹般動力系統中分形集的Hausdorff維數dH很難用理論方法或計算方法得到。對於具有重疊結構的分形集，T.Bedford等人在1986中給出了有效的算法，但對於壹般非線性映射叠代動力系統生成的分形集，這些結果很難適用，Hausdorff維數dH的結論和算法實際上是不存在的。卡普蘭(j.L.Kaplan)和約克(J.A. York)在1979引入了李亞普諾夫維數dL，並猜測dL=dH。1981年Lelapier證明dH≤dL。楊(L.S.Young)1982在二維證明了dH=dL。A.K.Agarwal等人在1986中舉例說明Kaplan-York猜想在高維情況下不成立。這個猜想試圖從動力學特征推斷幾何結構，其逆問題是從吸引子維數推斷混沌力學，值得研究。但目前這方面的工作很少，而且主要局限於計算機研究。另外，參數動力系統在混沌臨界狀態或突變時的分形維數需要進壹步研究。
多重分形是與動力系統的奇異吸引子有關的另壹類重要分形集，其概念最早由Mandelbrot和A.Renyi提出，在1983中，J.D.Farmer等人定義了多重分形的廣義維數。在1988中，T.Bohr等人將拓撲熵引入到多重分形的動力學描述和熱力學類比中。在1988中，Arnedo等人將小波變換應用於多重分形研究。J.Feder、T.Tel等人研究了多重分形子集和標度指數。阿姆·特裏卡研究了多重分形的逆問題，提出了廣義配分函數，給出了廣義超越維數，修正了以前的維數。J.Lee等人發現了多重分形熱力學形式的相變。在1990中，C.Beck得到了廣義維數的上下界和極限，並研究了多重分形的均勻性測度。Mandelbrot研究了隨機多重分形和負分形維數。Covic在1991中引入了二元叠代系統，利用最大特征值和Gibbs勢導出維數、熵和李亞普諾夫指數，為多重分形相變的分類提供了壹個通用方案。多重分形相變分類的壹般方案。雖然已經提出了很多處理多重分形的方法，但是從數學的角度來看，這些方法還不夠嚴格，有些問題很難用數學來處理。
四
分形理論才發展了十幾年，方興未艾，很多方面的理論還需要進壹步研究。值得註意的是，近年來分形理論的應用和發展遠遠超過了理論的發展，對分形數學理論提出了更新更高的要求。各種分形維數計算方法和實驗方法的建立、改進和完善，使其理論簡單，易於操作，是應用分形的科學家共同關心的問題。在理論研究中，維數的理論計算和估計，分形重構(即尋找壹個動力系統使其吸引集是壹個給定的分形集)，J集和M集及其擴展形式的性質、動力特征和維數將成為數學家們非常活躍的研究領域。多重分形理論的完善性和嚴密性以及如何用這些理論解決實際問題可能會引起科學家的廣泛興趣，動力學特性、相變和小波變換可能會成為幾個熱點。
在哲學上，人們的興趣在於自相似的普遍性，M集和J集的簡單性和復雜性，復數和實數的統壹性，多重分形相變與突變理論的關系，自組織臨界性(SOC)的刻畫以及分形系統內部各種矛盾的轉化。可以預見，壹場關於分形科學哲學的討論將很快在中國展開。
======================================
分形理論與波動理論研究/forex/forex info/20050916/12161974322 . shtml
分形理論及其在化工中的應用/resource/article/jylw/3/306/lw 009994 . htm