? 這是通識選修課《經濟研究中的計算方法》第二講中出現的案例。
? 本福特定律是壹個非典型數字統計定律，它由來已久。雖未被廣義的證明，卻有著重要的應用。最直接的作用就是，它可以幫助偵破“數據造假”，在各個領域。
（壹）本福特定律
? 本福特（Benford）定律，又稱為第壹數字定律。它是數字統計的壹種內在規律，指所有自然隨機變量，只要樣本空間足夠大，每壹樣本首位數字為1至9各數字的概率在壹定範圍內具有穩定性（見圖）。即以1開首的樣本占樣本空間的0.3，以2開首的樣本占樣本空間0.17-0.19，而以9或8開首的樣本始終只占0.05左右。
? 世界上千千萬萬的數據的開頭數字是1到9中的任何壹個數字，而且每個數字打頭的概率本應該差不多，但如果妳統計的數據足夠多，就會驚訝地發現，打頭數字是1的數據最多。?
? 1935年，美國的壹位叫做富蘭克?本福特（Frank Benford, 1883–1948）的工程師在圖書館翻閱對數表時發現，對數表的頭幾頁比後面的頁更臟壹些，這說明頭幾頁在平時被更多的人翻閱。再進壹步研究後發現，只要數據的樣本足夠多，數據中以1為開頭的數字出現的頻率並不是1/9，而是30.1%。而以2為首的數字出現的頻率是17.6%，往後出現頻率依次減少，9的出現頻率最低，只有4.6%。?
? 本福特開始對其它數字進行調查，發現各種完全不相同的數據，均有這個定律的身影。比如，約三分之壹的住宅號碼是以1作為其首個數字的。許多幾乎沒有任何***通性的領域也有相同的情況：比如道瓊斯指數的歷史數據、個人電腦中文件儲存的大小排列順序、世界主要河流的長度、報紙頭版頭條的數字及其它許多事情，都是符合的。
? 1961年，壹位美國科學家提出，本福特定律其實是數字累加造成的現象，即使沒有單位的數字。比如，假設股票市場上的指數壹開始是1000點，並以每年10%的程度上升，那麽要用7年多時間，這個指數才能從1000點上升到2000點的水平；而由2000點上升到3000點只需要4年多時間；但是，如果要讓指數從10000點上升到20000點，還需要等7年多的時間。因此我們看到，以1為開頭的指數數據比以其他數字打頭的指數數據要高很多。
（二）本福特
? 本福特本來是壹個美國電氣工程師，也是壹名物理學家，在美國通用電氣公司（GE）實驗室裏工作多年直到退休。這位工程師在50多歲的時候，迷上了壹個與數字有關的課題。課題得到的結論便是現在我們所說的“本福特定律”。
? 事實上，本福特定律的最早發現者並不是本福特，而是美國天文學家西蒙?紐康（Simon Newcomb，1835.3.10-1909.7.11）。紐康於1877年成為美國航海天文歷編制局局長，並組織同行們重新計算所有主要的天文常數，繁雜的天文計算經常需要用到對數表，但那個時代沒有互聯網，沒有阿裏雲，對數表被印成書本，存於圖書館。細心的紐康發現壹個奇怪的現象：對數表中包含以1開頭的數的那幾頁比其他頁破爛得多，似乎表明計算所用的數值中，首位數是1的概率更高，因此他在1881年發表了壹篇文章提到並分析了這個現象，但沒有引起人們的註意，直到54年之後的1935年，本福特又重新發現這個現象。
? 說來令人奇怪，科學定律的發現有時候來自於壹些毫不起眼，小得不能再小的現象，本福特的發現便是如此：以1開頭的數字比較多，這也算是壹個定律嗎？他發現這種現象不僅僅存在於對數表中，也存在於其它多種數據中，於是，他檢查了大量數據而證實了這點。
? 本福特對此疑問的觀察要比紐康更深入壹些。他開始對其它數字進行調查，發現各個完全不相同的數據，比如人口、死亡率、物理和化學常數、棒球統計表、半衰期放射性同位數、物理書中的答案、素數數字和斐波納契數列數字中均有“第壹數字定律”現象的出現。換句話說就是只要是由度量單位制獲得的數據都符合這壹定律。另壹方面，任意獲得的和受限數據通常都不符合本福特定律。比如，彩票數字、電話號碼、汽油價格、日期和壹組人的體重或者身高數據是比較隨意的，或者是任意指定的，並不是由度量單位制獲得的。
? 紐康發現這個定律的時間比本福特早了50多年，但很明顯，後者是個更有心的人。否則就該叫做紐康定律了。
（三）本福特定律靠得住嗎？
? 第壹數字定律描述的是自然數1到9的使用頻率，公式為F(d) = log[1 + (1/d)]（d為自然數）。人們分析後發現，由度量單位制獲得的自然累加數據都符合第壹數字定律，而任意獲得的和受限數據通常都不符合。但人的身高、體重數據不符合，怎麽解釋？雖然定律在許多方面都得到了應用，但對於這類現象，人們依舊是迷惑不解。
? 再有就是怎麽用數學方法證明定律，至今沒有滿意的結果。這是最大的問題，也是這個名頭很大，叫做第壹數字定律的本福特定律，至今無法進入數學或者統計學教科書的原因。
? 此定律的證明有不止壹種，但都不嚴格。下面這個，雖然嚴格，但明顯加了條件。
? 證明如下：假設我們有壹個很大的樣本空間，有隨機變量x?,x?,...,x_{n}，這裏n足夠大。x?,x?,...,x_{n}的演化規律可以用指數方程 來模擬。
? 如果我們對於指數定律的解兩邊取以10為底的對數，我們就會得到lg x(t)正比於時間t的結論。
? 如果我們問變量x介於80-90的概率有多大，我們只需要求出x(t=80)時t的解t?，和x(t=90)時t的解t?. 那麽占總時間T的比率(t?-t?)/T即為x介於80-90的概率。
? 那麽如果我們問首位數字是8的概率呢？多虧了duanx和zhuww的想法，我們只需要關心lg x的小數部分介於lg 8和lg 9之間的長度為多少即可。
? 這是由於關於10的對數lg x的整數部分決定著x是幾位數（整數部分是1，說明是兩位數；整數部分是2，說明是3位數……）。而lg x的小數部分則決定著x的每位數字是什麽。
? 如果畫壹個lg x的小數部分關於時間t的圖像，實際上就相當於把lg x的圖像折疊到[lg 0,lg 10]區間。這樣，我們就不需要關心時間T有多大，因為時間軸也被折疊了。那麽首位數字為D的概率即為 [lg(D+1)-lg(D)]/(lg 10-lg 1)=lg(D+1)-lg(D)。
? 註意：上面的指數方程 是下面這個微分方程 的解。這個方程的物理含義是單位時間內，x(t)的變化量正比於x(t)在時刻t的值，比例系數為壹常數k。
? 現實世界中，很多演化過程都可以用上邊這個方程去近似，尤其是實在演化的初期沒有達到飽和狀態的時候。在維基百科上，我們可以找到很多這樣的例子，比如關於指數衰減，指數增長，以及化學中的速率方程的降解部分。
（四）本福特定律的應用
? 不管如何詮釋本福德定律，它是壹個客觀存在，並且是有用的。由於大多數財務方面的數據，都滿足本福德定律，因此，它可以用作檢查財務數據是否造假。
? 美國華盛頓州偵破過壹個當時最大的投資詐騙案，金額高達1億美元。詐騙主謀凱文·勞倫斯及其同夥，以創辦高技術含量的連鎖健身俱樂部為名，向5000多個投資者籌集了大量資金。然後，他們挪用公款用作自身享樂，為他們自己買豪宅、豪華汽車、珠寶等。為了掩飾他們的不法行為，他們將資金在海外公司和銀行間進行頻繁轉賬，並且人為做假賬，給投資者造成生意興隆的錯覺。所幸當時有壹位會計師（Darrell Dorrell ）感覺不對頭，他將70000多個與支票和匯款有關的數據收集起來，將這些數據首位數字發生的頻率與本福德定律相比較，發現這些數據通過不了第壹數字法則的檢驗。最後經過了3年的司法調查，終於拆穿了這個投資騙局，2002年，勞倫斯被判20年牢獄。
? 2001年，美國最大的能源交易商安然公司宣布破產，並傳出公司高層管理人員涉嫌做假賬的傳聞。據說安然高層改動過財務數據，因而他們所公布的2001-2002年每股盈利數據不符合本福特定律。2001年12月，這個全球500強中排名第七的公司向美國證監會承認會計造假。安然事件引起公眾對會計數據造假的關註，直接導致了2002年8月《薩班斯法案》的誕生。
? 美國稅務局也利用本福德規則來檢驗報稅表，揪出逃稅漏稅行為，據說有人曾經用此定律來檢驗美國前總統克林頓10年內的報稅數據，不過沒有發現破綻。
? 此外，本福德定律也被用於股票市場分析、檢驗選舉投票欺詐行為等。
? 很顯然，本福特定律是壹個打擊數據造假的大殺器。當然要註意它的應用條件：
1.數據不能是規律排序的；
2.數據不能經過人為設置；
3.數據量要足夠大。有人說3000以上，不知有無依據；
4.它不是永遠對，這是目前的未解之謎；
5.它是否準確，也有個標準問題，因為它更接近蒙特卡洛算法。