分形壹詞最早是由B.B.Mandelbrot於1975年從拉丁文fractus中杜撰出來的，《自然界中的分形幾何》(Mandelbrot，1982)是其經典之作。起初，它描述的是壹種具有嚴格自相似結構的幾何形狀，物體的形狀與尺度無關。子代數N(r)與線性標度(標度r)之間存在冪函數關系，即N(r)∝1/rD。分形的核心是尺度不變性(或自相似性)，即物體的屬性(如形狀、結構等。)在任何尺度下都不變。數學分形實際上是壹個無限嵌套結構的極限圖。現實的分形只在壹定的尺度範圍內表現出自相似或自仿射的特征，這也稱為(現實)分形的無尺度區。在無標度區，冪函數關系始終成立。
根據分形理論，壹個分形的任何相對獨立的部分，在壹定程度上都是整體(分形元素)的再現和相對縮影，人們可以通過認識部分來認識整體。但分形元素只是構成整體的壹個單元，與整體相似，並不簡單等同於整體，整體的復雜程度遠大於分形元素。更重要的是，分形理論指出了分形元素構成整體所遵循的原則和規律，這是對系統論的重要貢獻。
從分析事物的角度來看，分形理論和系統論體現了從兩個極端達到對事物全面認識的思想。而分形理論則是從局部確立整體的性質，向從微觀到宏觀的方向發展。系統論強調局部對整體的依賴性，分形理論強調整體對局部的依賴性。它們的互補性揭示了系統的多層次、多視角、多方向的聯系，豐富和深化了局部與整體的辯證關系。
分形理論的提出對科學認識論和方法論具有廣泛而深遠的意義。壹是揭示了整體與部分的內在聯系，找到了部分向整體過渡的媒介和橋梁，解釋了部分與整體之間的信息“同構”。第二，分形和混沌與現代非線性科學的普遍聯系和交叉滲透，打破了學科之間的條塊分割，團結了各個領域的科學家。第三，它為描述非線性復雜系統提供了簡潔有力的幾何語言，使人們的系統思維方法從線性進步到非線性，使人們從局部認識整體，從有限認識無限，從不規則認識規則，從混沌認識有序。
分形理論、耗散結構理論和混沌理論相輔相成，密切相關，都是非線性科學研究的重要成果。耗散結構理論從熱力學角度關註開放系統中形成的、遠離平衡態的自組織，為熱力學第二定律的“退化理論”和達爾文的“進化論”打開了壹個連接通道。將自然科學和社會科學置於統壹的世界觀和認識論中，混沌理論側重於從動力學角度研究不可積系統的軌道不穩定性，有助於彌合自然界確定性和隨機性兩種對立描述體系之間的鴻溝，深化對偶然性和必然性的認識。分形理論從幾何角度研究不可積系統幾何圖形的自相似性質，有可能成為定量描述耗散結構、混沌吸引子等復雜不規則現象的有力工具，進壹步推動非線性科學的發展。
分形理論是壹門新興的交叉學科，它為自然科學、社會科學、工程技術、文學藝術等多種學科提供了壹種通用的科學方法和思維方式，據我們所知，它具有高度的應用普適性。這是因為具有尺度不變性的分形結構是現實世界中普遍存在的壹大類結構，這種結構的含義非常豐富。它不僅指研究對象的空間幾何，壹般指拓撲維數(幾何維數)小於其度量維數的點集，如事件點、能量點、時間點、過程點，甚至意識點、思維點的分布。
分形思想的基本觀點可以簡單表述為:分形研究的對象是具有自相似性的混沌系統，其維數是不斷變化的。從分形研究的進展來看，近年來提出了壹些新概念，包括自仿射分形、自逆分形、遞歸分形、多重分形、胖分形等。壹些分形往往不具有嚴格的自相似性，正如定義所表明的，壹些分形在某些方面與整體相似。
分形理論中的自相似概念最初是指形態或結構的相似性，即形態或結構相似的幾何對象稱為分形，研究這種分形特征的幾何稱為分形幾何。隨著研究工作的深入開展和領域的拓展，以及壹些新學科的影響，如系統論、信息論、控制論、耗散結構論、協同論等，自相似的概念得到了豐富和拓展。信息、功能、時間上的自相似也包含在自相似的概念中。因此，壹個在形式(結構)、信息、功能或時間上具有自相似性的物體稱為廣義分形。廣義分形及其生成元可以是信息或函數支持的幾何實體或數學模型。分形系統可以同時在形態(結構)、信息、功能等各個方面具有自相似性，也可以只在某壹方面具有自相似性。分形系統中的自相似可以是完全相似的，這種情況很少見，也可以是統計意義上的相似。這種情況占大多數，相似度有層次或水平的差異。最底層是生成器，最高層是整個分形系統。等級越接近，相似性越好，等級差越大，相似性越差。當超過壹定範圍時，相似性就不存在了。
分形具有以下基本屬性:
(1)自相似性是指事物的壹部分(或部分)與整體在形狀、結構、信息、功能、時間等方面的統計相似性。
(2)尺度不變性是分形物體的幾何尺寸適當放大或縮小時，整體結構不發生變化的壹種性質。
(3)自然現象只在壹定尺度範圍和壹定層次上表現出統計自相似性，超過這樣的尺度，就不再具有分形特征。換句話說，它們在不同的尺度範圍或不同的層次上具有不同的分形特征。
(4)在歐氏幾何中，維數只能是整數，而在分形幾何中，維數可以是整數，也可以是分數。
(5)分形是自然界中具有冪函數分布的隨機現象，必須用統計方法進行分析和處理。
目前分形的分類有幾種:①確定性分形和隨機分形；②比例分形和非比例分形；③均勻分形和非均勻分形；④理論分形和自然分形；⑤空間分形和分形事件(時間分形)。
分形研究中應註意以下問題:
統計量(隨機性)。只有研究統計意義上的分形特征，通過統計數據分析找出穩態規律，才能最客觀地描述自然紋理和粗糙度。從形成過程看，分形是壹個無限隨機過程的體現。比如大不列顛海岸線的復雜性，是由長期的波浪沖擊、侵蝕和風化形成的，其他很多動力過程和集聚過程都是無限隨機的，不可能由某個特征量形成。
(2)全球性。分形是通過整體與局部的對比而存在的，包括多層嵌套和無限精細結構。研究平面(二維)或立體(三維)的粗糙度，要考慮全局範圍各個方向的平穩性，即區分各向同性或各向異性的分布規律。
(3)多尺度。壹個物體的分形特征通常在某些尺度上有所反映，而在其他尺度上則沒有。理想的無標度區幾乎不存在，因此從多尺度上研究分形特征更有實際意義。
模型的建立，其實就是分形(相似)模型的建立。利用相似原理，建立模型單元，對預測單元進行分形處理和預測。
分形的正問題是給出規律，生成的幾何對象通過叠代和遞歸明顯具有某種相似性。逆問題叫做分形重建。廣義地說，是指任何壹個在幾何學上被認為是分形的圖形，能否找到生成它的規律，並以某種方式生成。當我們研究非線性動力學時，混沌動力學會產生分形，而分形重構是動力學系統研究的逆問題。因為“壹因多果”和“壹果多果”的存在
臨界現象與分形有關。重整化群是研究臨界現象的壹種方法。這種方法首先計算小尺度模型，然後將其重整化到更大或更大的尺度。如果我們有壹個網格狀的元素組，每個元素有壹定的滲透概率，重正化群方法的壹個應用是計算滲透的開始。當元素的滲透率達到某壹臨界值時，這組元素的滲透流動就會突然發生。壹旦流動開始，元素將被連接。
自組織臨界性的概念可以用來分析地震活動。根據這個概念，壹個自然系統處於穩定狀態的邊緣，壹旦偏離這個狀態，系統就會自然地演化回穩定狀態。臨界狀態沒有自然的長度尺度，所以是分形的。壹個簡單的元胞自動機模型可以解釋這種自組織臨界現象。
分形理論作為非線性科學的壹個分支，是研究自然界空間結構復雜性的壹門學科。它可以從復雜的看似無序的模式中提取某些有規律的參數。它不僅可以反演分形結構的形成機制，還可以從看似隨機的演化過程(時間序列)中推斷系統演化的結果，近年來備受地球科學家的關註。在地質統計學、孔隙介質、儲層非均質性和石油勘探開發中，固體表面或
自20世紀80年代初以來，壹些專家學者註意到了地質學中的自相似現象，並試圖將分形理論應用於地球科學。基於普遍存在的自相似現象，地質體的高度不規則性、分割性和層次性，地質中遞歸的普遍性，分形幾何在其他學科中的應用實例與地質學中研究對象的相似性，以及地質學中某些冪函數關系的存在，基於地質學量化的需要，非線性地質學的發展以及線性地質學難以解決的許多困難， 而分形理論和現代測試及計算機技術的發展，使分形理論與地質學的結合成為可能，它的進壹步發展將豐富數學地質學的研究內容，並將其推向壹個新的高度。 目前，分形理論在地球科學中的應用主要包括以下兩個方面:
(1)分析“地質存在”——地質體或某些地質現象的分形結構，尋找相應的分維，尋找分維值與相關物理參數的關系，探索分形結構的形成機制。這方面的研究相對較多，如人們對斷層、斷層、褶皺等地質構造(現象)進行了分形分析，探討了分維值與巖石力學性質的關系。證明了從大到海底(或大陸)地貌，小到納米級微晶表面，各種粗糙表面都具有分形特征。計算了河網、斷層網、地質多孔介質和粘性指進的分維值，以及脈厚與品位或品位與儲量的分形關系。
(2)對“地質演化”——地質過程進行分形分析，得出分形維數，考察其變化趨勢，從而預測演化結果。例如，對強震前小震分布的分形研究表明，降維現象壹般發生在強震前，從而為地震預測提供了有力的理論工具。今天的研究不僅僅局限於分形維數的計算和分形模型的建立；更側重於解釋地質學中自相似特征的成因或成因，自相似系統的生成過程和模擬，用分形理論解決地質學中的疑難和實際問題，如地震和災害地質預測、石油預測、巖體力學分類、成礦規律和成礦預測等。地球化學數據在很大程度上反映了地質現象的結構特征。分維是描述分形結構的定量參數，可以揭示地球化學元素空間分布的內在規律。
分維與地質異常有壹定的關系。我們可以以壹定的地質內容為參數，比較不同剖面的分形維數的差異，從而得出構造剖面的位置和範圍，確定地質異常。我們還可以計算不同時期的可采歷史地質構造格局的分維，也可以確定分維的背景值。分形是自然界的普遍規律。
總之，分形理論已經滲透到地球科學的各個角落，應用範圍涉及地球物理、地球化學、石油地質、構造地質和災害地質。