本課選自北師大版新課標數學教材九年級第四章第二節。在學生學習了加權平均並利用其解決統計相關問題後，本課結合概率與頻率的關系，引導學生認識和理解隨機變量均值的計算，並將隨機變量均值的計算應用於“性價比”評價和決策。教材註重知識的聯系，選擇壹個學生以前學過的問題情境，降低解題難度；同時，在解題過程中強調學生的經驗，讓學生先通過實驗獲得初步感受，再通過與上壹節使用的加權平均的聯系，逐步得到問題的理論解釋。
2學習者分析
在日常生活中，學生經常會遇到各種抽獎活動。通過之前的學習，學生已經初步認識到在這些活動中獲得或贏得獎品的可能性，但還沒有具備正確的判斷和決策能力。因此，應該給學生壹定的數學工具，讓他們知道如何判斷壹項活動是否“劃算”，因為學生已經學習了加權平均及其在統計學中的應用，只要學生能夠理解頻率和概率的關系，並將它們有機地結合起來，學習隨機變量平均值的計算應該不會太難。
3教學目標
知識與技能:學會利用加權平均的知識計算隨機變量的平均值，初步了解如何判斷事物是否“劃算”，進壹步建立和發展良好的隨機概念。
過程和方法:通過猜想、實驗探究、理論推導等活動，了解“性價比”方案的隨機數學原理，增強學生的數學應用意識和能力。
情感、態度、價值觀:通過數學探究活動，發展合作交流的意識和能力，進壹步理解概率與統計的關系，體驗隨機數學的應用價值。
4教學重點和難點
要點:學會如何通過數學實驗和理論計算來判斷壹項活動是否“劃算”。
難點:理解並應用理論方法計算轉盤每次旋轉所獲得的購物券平均金額。
5種教學方法
壹、為學生創設熟悉的生活情境，引起學生的認知沖突，激發學生解決“性價比”問題的學習動機。教學過程按照“直觀猜測、實驗感受、理論計算、實際應用”的認知規律設計，註重實驗估計與理論計算相結合，註重解決問題的活動過程，既促進學生理解，又滲透概率與統計的關系。組織學生在合作中探究和解釋自己的發現，進壹步培養學生合作交流的意識和能力。鼓勵學生思維的多樣性，引導學生積極反思，體驗學習成功的樂趣。
6教學媒體
老師準備多媒體教學課件，轉盤，抽獎廣告。上課前，學生們制作壹個在購物中心使用的自由旋轉的轉盤，就像課本上壹樣。
7教學過程
7.1創設情境，引入問題
老師:妳們研究過彩票中各種獎的可能性嗎？妳想知道每個活動的平均收入嗎？讓我們壹起來研究其中的奧秘吧！(多媒體演示)
某商場為了吸引顧客，設置了可以自由旋轉的轉盤1，並規定顧客每購買100元的商品可以獲得壹次旋轉轉盤的機會。如果表盤停止，指針剛好對準紅黃綠區域，那麽顧客就可以分別獲得100元、50元、20元的購物券，憑此券可以繼續在商場購物。如果客戶不願意轉撥，可以直接獲得10元的購物券。妳覺得轉轉盤和直接拿購物券哪個更劃算？
轉盤1
老師:當轉盤停止時，指針可能會落在哪裏？拿到購物券的幾率有多大？
生:指針可能指向各種顏色區域，根據轉盤中各種顏色區域的比例:紅、黃、綠、白。
，那麽獲得100元、50元、20元購物券的概率分別為0.05、0.1、0.2，指針指向白色區域的概率為0.65，此時無法獲得購物券。
老師:不轉轉盤，直接拿10元的購物券。如果妳轉動轉盤，會有很多可能的結果。放棄轉盤意味著放棄獲得100元、50元、20元購物券的機會。如果妳不放棄，就意味著妳可能連獲得10元購物券的機會都沒有。那麽如何選擇性價比更高的呢？
我們先做個實驗，也許妳會找到解決這個問題的辦法。
是否“劃算”取決於整體計算隨機變量的平均值，學生可能還停留在確定性思維，從而造成認知沖突。讓學生判斷壹個活動是否“劃算”，這是提高決策能力的關鍵。通過設置這種常見的問題情境，讓學生先通過實驗有壹個初步的感受。]
7.2動手實驗揭示規律
(1)每四個人組成壹個合作學習小組。通過實驗的方式(每組100次)，分別計算獲得100元、50元、20元購物券以及未獲得的頻率，並據此估算轉盤每次旋轉所獲得的購物券平均金額，以此來看是轉動轉盤還是直接獲得購物券。
(2)與全班溝通，看各組結論是否壹致，匯總各組數據(表1)，計算轉盤每轉動壹次獲得的購物券平均金額。
表1轉盤實驗結果
獲得100元購物券
獲得50元購物券
獲得20元購物券
未能獲得購物券
組
全班同學。
組
全班同學。
組
全班同學。
組
全班同學。
頻率
頻率
a1
主動脈第二聲
a3
a4
老師:實驗中妳每次轉動轉盤得到的購物券平均金額是怎麽算出來的？
作為100實驗，我們假設獲得100元購物券的頻率為a1，獲得50元購物券的頻率為a2，獲得20元購物券的頻率為a3，未獲得購物券的頻率為a4。根據加權平均的定義，轉盤每旋轉壹周得到的購物券平均金額為:
100 a 1+50 a2+20 a3+0 a4 = 100 a 1+50 a2+20 a3(元)
學生從統計表中可以看到，匯總全班數據後，指針停在各顏色區域上的頻率更接近各顏色區域占整個轉盤的面積比。也就是說，當測試次數較多時，a1，a2，a3，a4會穩定在相應的理論概率上。此時，我們可以用實驗頻率來估計理論概率。
老師:如果把上圖中的轉盤換成轉盤2，轉盤停止後指針剛好對準紅黃綠區域，顧客仍然會分別得到65438元、50元、20元的購物券。相比上圖中的轉盤，哪款轉盤對客戶來說性價比更高？如果我們用3號轉盤呢？
轉盤2轉盤3
生:交流討論。
老師:轉盤2和原來的轉盤給客戶的結果是壹樣的。因為指針落在紅色區域、黃色區域和綠色區域的可能性沒有改變。轉盤3和原轉盤的結果對客戶來說是不壹樣的，轉盤3的結果對客戶來說更經濟。因為不拿購物券和拿50元購物券的可能性沒有變，拿20元購物券的可能性降低了。
，獲得100元購物券的可能性增加。
【通過轉盤的“變種”，讓學生理性思考影響購物券平均獲得金額的因素，為學生得出以下理論計算方法打下基礎。]
7.3理論計算，認知建構
老師:如果不用實驗的方法，妳能找出每次轉動轉盤得到的購物券的平均金額嗎？
生:從轉盤2我們知道，每次轉動轉盤，得到100元購物券的概率為，得到50元購物券的概率為，得到20元購物券的概率為。
理論上可以認為獲得100元購物券的次數是n次，獲得50元購物券的次數是n次。
n次，得到20元購物券的次數是n次，那麽轉盤每次旋轉得到的購物券平均金額應該是:(100× n+50×。
n+20×n)÷n = 100×50×20×= 14(元)。
以同樣的方式，使用轉盤3，每次轉盤旋轉時獲得的購物券的平均金額應該是:
100× +50× +20× =18(元)
老師:我們在什麽地方用過這個算法嗎？
生:這個算法和上壹節小明估算農村居民人均純收入的方法是壹致的。
【這有利於下面討論梁瀟的做法，使學生對隨機變量均值的理論計算有壹個清晰的認識。如果學生已經想出了這個理論計算方法，就要順著學生的思路，引導他們進壹步討論。]
7.4討論和交流，區分和理解
老師:梁肖根據轉盤2畫了壹個扇形統計圖1。據此，他認為轉盤每次轉動得到的購物券平均金額為100×5%+50×10%+20×20% = 14(元)。妳能解釋壹下梁肖為什麽這麽做嗎？
統計圖1
生:我認為梁肖的算法是合理的。
從圖1可以看出，指針落在紅色區域、黃色區域和綠色區域的概率分別為，，我們可以把，，
作為壹個權重，梁肖繪制的扇形統計圖反映了轉盤停止轉動時，指針指向紅色區域、黃色區域和綠色區域的權重。根據加權平均的公式，轉盤每轉壹圈得到的購物券平均金額為:100×5%+50×10%+20×20% = 14(元)。
老師:按照梁肖的算法，小明那組轉了100次，總* * *是1400元，但實際上，他們的總* *是1320元。這是為什麽呢？
生:因為小光的方法計算出來的平均值是理論概率計算出來的，但是實際頻率很難和理論概率完全壹樣。
老師:大家對現實生活中不確定現象的理解是正確的。其實實驗多的時候，實驗結果應該接近理論值，但是無論做多少次實驗，都很難保證實驗結果和理論值相等。這是我們做決策和判斷時應該有的隨機概念。
本文旨在借助扇形統計圖引導學生獲得這種理論計算方法，使學生理解概率與統計的關系。]
7.5課內練習的鞏固和深化
使用另壹個轉盤進行上述活動。小英根據實驗數據畫壹張扇形統計圖2，求轉盤每旋轉壹次得到的購物券金額的平均值。
統計數字2
生:根據扇形統計圖，我們可以知道，轉盤每轉動壹次，獲得的購物券平均金額為:
100×10%+50×15%+20×25% = 22.5(元)。
7.6總結和自我評價
在本課中，我們繼續體驗解題活動的過程，學習如何判斷壹件事情是否“劃算”，通過具體的問題情境掌握壹定的判斷方法，提高決策能力；通過探索“平均收益”的計算方法，可以理解隨機數學與確定性數學的關系。通過實驗估計和理論計算的過程，我進壹步認識到了概率與統計的關系，更好地確立了隨機性的概念。
7.7布置作業和測試反饋。
(1)
妳的口袋裏有同樣的四個白球和兩個紅球。從妳的口袋裏拿出兩個球。如果兩個都是白球，A贏，否則B贏。請考慮壹下。這場比賽誰是贏家？
(2)
如圖所示，轉盤被均勻分成37個方塊，分別標有從0到36的37個數字。玩家每次下註2元，可以下註其中壹個號碼。如果指針所指的方塊中的數字正好是轉盤停止轉動時玩家下註的數字，則歸還賭本並獲得70元獎勵，否則賭本將被沒收。遊戲對玩家有利嗎？多少回合後，玩家平均每次會得到或失去多少？