1.結構特例:A'B '，C'D '和M'N '是⊙O '中的三個直徑，A'D'∩M'N'=P '，b' c' ∩ m' n' = q。
2.中心投影:在不屬於⊙O '所在平面的空間中取任意壹點T為投影中心，用平行於直線M'N '的平面切割陰影，則圓O '投影為橢圓，線段M'N '投影為平行的M''N '，則有對應的P'' o'' = q'' o。
3.仿射:橢圓是圓，從仿射不變性可知PO=QO。
蝴蝶定理簡介；
蝴蝶定理是古代歐幾裏得平面幾何中最精彩的結果之壹。這個命題最早出現在1815，被W.G. Horner證明。“蝴蝶定理”這個名字最早出現在美國數學月刊2月號(1944)上，標題像壹只蝴蝶。這個定理的證明數不勝數，數學愛好者還在研究，考試也有各種變形。
發展歷史:
這個命題最早出現在1815英國雜誌《紳士日記》第39-40頁(P39-40)。有趣的是，直到1972，人們的證明都不是初等的，非常復雜。
這篇文章發表的當年，英國自學成才的中學數學老師W.G. Horner(他發明了Horner的多項式方程近似根方法)給出了第壹個證明，完全是初等的；理查德·泰勒給出了另壹個證據。
M. Brand (1827)的壹本書給出了另壹個早期證明。最簡單的證明方法是射影幾何，這是英國的j·石開在《歐幾裏得《幾何原本》前六部續集中給出的。只有壹句話，用的是線束的交比。
“蝴蝶定理”這個名字最早出現在美國數學月刊2月號(1944)，標題是壹只蝴蝶。1981年,《十字路口》雜誌發表了K. Satyanarayana使用的壹種比較簡單的解析幾何方法，用直線叢和圓錐叢。1990年，出現了鄭蝶定理。