為什麽需要學習數學，這是妳首先需要想清楚的問題。數學學科子分類多、每壹本數學書中都有許多定理和結論，需要花大量時間研究。而人的時間是寶貴的、有限的，所以妳需要大體有壹個目標和計劃，合理安排時間。
1.1 妳的目標是精通數學、鉆研數學，以數學謀生，妳可能立誌掌握代數幾何，或者想精通前沿物理。那麽妳需要打下堅實的現代代數、幾何以及分析基礎，妳需要準備大量時間和精力，擁有堅定不移的決心。（要求：精通全部三級高等數學）
1.2 妳的目標是能夠熟練運用高等數學，解決問題，掌握探索新應用領域的武器，妳可能立誌進入計算機視覺領域、經濟學領域或數據挖掘領域。那麽，妳需要打下堅實的矩陣論、微積分以及概率統計基礎。（要求：精通第壹級高等數學）
1.3 妳的目標是想了解數學的樂趣，把學數學作為人生壹大業余愛好。那麽，妳需要打下堅實的線性代數、數學分析、拓撲學以及概率統計基礎，對妳來說，體會學數學的樂趣是壹個更重要的目標。（精通第壹級高等數學，在第二級高等數學中暢遊，嘗試接觸第三級高等數學）
二、給自己足夠的動力
學數學需要智力，更需要時間和精力。下面的幾個事實相大家都深有體會：
1. 凡是沒有用的東西，或者雖然有用，但是妳用不到的東西，學得快忘得也快。不信妳回憶壹下妳大壹或者初壹的基礎課，妳還記的清楚嗎？
2. 凡是妳不感興趣（或者感覺不到樂趣）的東西，妳很難堅持完成它。很多人都有這樣的經歷，壹本書，前三章看的很仔細，後面就囫圇吞棗，越看越快，反正既沒意思也沒用。
3. 小學數學是中學數學的基礎，中學數學是高中數學的基礎，高中數學是大學數學的基礎（妳可以以此類推）。
因此，無論妳的目標是什麽，搞數學、用數學、還是體會數學的樂趣、滿足自己從少年時就有的夢想。學有所樂、學有所用，永遠是維持妳動力不衰退的兩個最主要的因素。
三、高等數學學什麽？
好了，來看看標準大學數學的科技樹：
壹級：
線性代數（矩陣論），數學分析，近世代數（群環域），分別囊括了了幾何、分析和代數的基礎理論。別忘了還有概率論（建立在分析之上的壹門基礎學科）。
二級：
有了這些基礎，接著是基礎的基礎、抽象和推廣：測度論（積分的基礎，當然也是概率論的基礎），拓撲學（有關集合、空間、幾何的壹門極度重要的基礎學科），泛函分析（線性代數的推廣），復變函數（分析的推廣），常微分方程與偏微分方程（分析的推廣），數理統計和隨機過程（概率論的推廣），微分幾何（分析和幾何的結合）。
然後是壹些小清新和應用學科：數值分析（算法），密碼學，圖形學，信息論，時間序列，圖論等等。
三級：
再往上是研究生課題，往往是代數、幾何和分析要壹起上：微分流形、代數幾何、隨機動力學等等。
這個科技樹的三級，和小學、初中、高中數學很相似，壹層學不精通，下壹層看天書。
四、如何學習
4.1 適量做題
千萬千萬千萬不要狂做題。玩過戰略對抗遊戲的同學都知道，低級兵造幾個就行了，要攢錢出高級兵才能在後期取勝，低級兵不僅攻擊力低，還沒有好玩的魔法，它們存在的意義在於讓妳有能力熬到後期。上面列舉了那麽多課程，妳先花5年做完吉米諾維奇六本數學分析習題集，妳就30歲了，後面的二級課程還沒開始學呢。因此，做壹些課後習題，幫助妳復習、思考、維持大腦運轉就行，要不斷地向後學。如果完全學不懂了，返回來做習題幫自己理清頭緒。
4.2 了解思想
數學的精髓不是做題的數量，而是掌握思想。每壹個數學分支都有自己的主線思想和方法論，不同分支也有相互可供對比和借鑒的思維方式。留意它，模仿它，瑣碎的知識就串成了壹條項鏈，妳也就掌握了壹門課。思想並不是讀壹本教材就能輕易了解的，妳要讀好幾本書，了解壹些應用才能體會。舉兩個例子：
微積分的主線有這麽幾條：認識到微觀和宏觀是有聯系的，微分用來刻畫事物如何變化，它把細節放大給妳看，而積分用來刻畫事物的整體性質；微分和積分有時是描述壹個現象的不同方式，這壹點妳在數學分析書中可能不容易發現，但是如果學點物理，就會發現麥克斯韋方程組同時有等價的微分形式和積分形式；積分變換能夠建立不同空間之間的的聯系，建立空間和空間邊界的聯系，這就是Stokes定理：，這個公式最遲要在微分流形中妳才能壹窺全貌。
矩陣是空間中線性變換的抽象，線性代數這門課的全部意義在於研究如何表達、化簡、分類空間線性變換算子；SVD分解不僅在應用學科用有極為廣泛的亮相，也是妳理解矩陣的有力工具；矩陣是有限維空間上的線性算子，對"空間"的理解不僅能讓妳重新認識矩陣，更為泛函分析的學習開了個好頭。
4.3 漸進式迂回式學習，對比學習
很多時候，只讀壹本書，可能由於作者在某處思維跳躍了壹下，以後妳就再也跟不上了。學習數學的壹個訣竅，就是妳同時拿到好幾本國際知名教材，相互對比著看，或者看完壹本然後再看同壹主題的另壹本書，已經熟悉的內容跳過去，如果看不懂了，停下來思考或者做做習題，還是不懂則往後退壹退，從能看懂的部分向前推進，當妳看的多了，就會發現壹個東西出現在很多地方，對它的理解就加深了。舉兩個例子：
外微分這個東西，國內有的數學分析書裏可能不介紹，我第壹次遇到是在彭家貴的《微分幾何》裏，覺得這是個方便巧妙的工具；後來讀卓裏奇的《數學分析》和Rudin的《數學分析原理》，都講了這個東西，可見在西方外微分是壹個基礎知識。妳要讀懂它，可能要首先理解矩陣，明白行列式恰好是空間體積在矩陣的變換下拉伸的倍數，它是壹種線性形式。最後，當妳讀微分流形後，將發現外微分是獲得流形上的Stokes定理的工具。
點集拓撲學這個東西，搞應用用不到。但是但凡妳想往深處學，這壹門學科就必須要掌握，因為它提供對諸如開集、緊集、連續、完備等數學基本概念的精準刻畫。往後學泛函分析、微分流形，沒有這些概念妳將寸步難行。首先妳要讀芒克裏斯的曠世名著《拓撲學》，接著在讀其他外國人寫的書時，或多或少都會接觸壹些相關概念，妳的理解就加深了，比如讀Rudin的《泛函分析》，開始就是介紹線性拓撲空間，前面的知識妳就能用上了。
4.4 建立不同學科的聯系
看到壹個東西在很多地方用，妳對它的理解就加深了，慢慢也就能體會到這個東西的精妙，最後妳會發現所有的基礎學科相互交織，又在後續應用中相互幫助，切實體會到它們真的很基礎，很有用。這是壹種體會數學樂趣的途徑。
4.5 關註應用學科
沒有什麽比應用更能激發妳對新知識、新工具的渴望。找壹些感興趣的應用學科教材，讀壹讀，開闊眼界，為自己的未來積累資源。以下結合自己的專業（計算機視覺）和愛好說說壹些優秀的專業書籍：
學了微積分，就可以無壓力閱讀《費恩曼物理學講義第壹卷》，了解力、熱、光、時空的奧秘；學了偏微分方程，就可以無壓力閱讀《費恩曼物理學講義第二卷》，了解電的奧秘；學了矩陣論，可以買壹本《計算機視覺中的多視圖幾何》，了解成像的奧秘，編程進行圖像序列的三維重建；學了概率論的同學應該會聽說過貝葉斯學派和頻率學派，這兩個學派的人把戰場拉到了機器學習領域，成就了兩本經典著作《Pattern Recognition And Machine Learning》和《The Elements of Statistical Learning》，讀了它們，我被基礎數學為機器學習領域提供的豐碩成果和深刻見解深深折服；讀了《Ray Tracing from the Ground Up》，自己寫了壹個光線追蹤器渲染真實場景，它的基礎就是壹點點微積分和矩陣......
高等數學的應用實在是太多了，如果妳喜歡編程，自動化、機器人、計算機視覺、模式識別、數據挖掘、圖形圖像、信息論和密碼學......到處都有大量模型供妳玩耍，而且只需要壹點點高等數學。在這些領域，妳可能能發現比數學書更有趣，也更容易找到工作的目標。
4.6 找有趣的書看
數學家寫的書有時是比較死板的，但是總有壹些教材，它們的作者有強烈的欲望想向妳展示"這個東西其實很有趣"，"這個東西完全不是妳想的那個樣子"等等，他們成功了；還有些作者，他們喜歡把壹個東西在不同領域的應用，和不同東西在某壹領域的應用集中展示給妳看。這樣的書會提供給妳充足的樂趣讀下去。典型代表就是國內出版的壹套《圖靈數學統計學叢書》，這壹套書實在是太棒了，比如《線性代數應該這樣學》《復分析：可視化方法》《微分方程、動力系統與混沌導論》，個人認為都是學數學必讀的經典教材，非常非常有趣。
五、多讀書，讀好書
如果只有壹句話概括如何培養數學能力，那麽就是這壹句：多讀書，讀好書。因此這壹步我想單獨拿出來多說兩句。
想必大家都十分精通並能熟練應用小學數學。想讀懂代數幾何，或者退壹步，想讀懂信息論基礎，妳就要挑幾本好的基礎教材，最好是外國人寫的，像掌握小學數學那樣掌握它。不要只看壹本，找三本不同作者的書，對比著看，逐行逐字看。有的地方肯定看不懂，記下來，說不定在另壹本書的某個地方就從另壹個角度說到了這個東西。
如果妳以後還要往後學，現在看到的每壹個基礎定理，以後還會用到。
每壹本基礎書，妳今天放棄，明天還要乖乖重頭再來。
要像讀經文壹樣，交叉閱讀對比不同教材內容的異同。
5.1. 推薦教材（其實就是我讀過的覺得好的書）：
第壹級：
《線性代數應該這樣學》
卓裏奇《數學分析（兩冊）》（讀英文版吧，不難。有知友說這個還是不太簡單，那妳可以先看個國內教材，然後回過頭來再看這個）
復旦大學《概率論》
第二級：
芒克裏斯《拓撲學》
圖靈叢書的壹些分冊
柯斯特利金《代數學引論》
Vapnik《統計學習理論的本質》
Rudin《數學分析原理》
Rudin《泛函分析》
Gamelin《復分析》
彭家貴《微分幾何》
Cover《信息論基礎》
第三級：
《微分流行與黎曼幾何》
《現代幾何學，方法與應用》三卷
5.2. 閱讀壹些科普教材
《數學是什麽》
《高觀點下的初等數學》
《巴赫、埃舍爾、哥德爾》
《e的故事》
5.3. 閱讀各個領域最有趣、最活潑、最讓妳長知識、最重視應用、文筆最易懂的教材和書籍
《費恩曼物理學講義》三冊
《混沌與分形：科學的新疆界》
《微分方程、動力系統與混沌導論》
《復分析：可視化方法》
最後想說，數學是壹個無底洞，會消耗掉妳寶貴的青春。壹無所知的妳可能勵誌搞懂現代數學，但是多會半途卻步，同時剩下的時間又不夠精通另壹門科學。而且即使妳精通純數學，沒有幾篇好文章也並不容易找工作。
我的建議是在閱讀數學的過程中開拓眼界，純數學和應用數學學科都看看，找到感興趣、應用廣泛、工作好找（來錢）的方向再壹猛紮下去成為妳的事業。比如數學紮實，編程能力也強的人就很有前途。
作者：王小龍
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來源：知乎
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