“概率”這個詞在我們的生活中隨處可見。數學家中彩票的幾率大嗎？雖然“概率”的定義並不晦澀，似乎每個人都可以用，但妳可能不知道，概率計算的結論往往違背他們的判斷，概率論中有很多說不出的，莫名其妙的謬誤。不能完全相信自己的直覺！
我們的大腦也會產生錯誤觀念和盲點，就像司機的視力有“盲點”，要看幾次浴室鏡子才能消除，所以他們的思維過程也有盲點，必須通過計算和思考來做出反應。概率論是壹個經常得出與判斷相反的奇怪結論的行業。即使是數學家，如果不小心也會犯大錯。現在，我們首先舉壹個傳統概率中的壹個謬誤的例子，叫做“基本比例”。
從生活中的壹個例子，我們逐漸到醫院做了壹個檢查，檢查他得了某種疾病的概率。結果竟然是陽性，這讓她很震驚，趕緊在網上查詢。根據網上的資料，檢驗總是有偏差的，這種檢驗有“假陽性率1%，假陰性率1%”。這句話的意思是，患病人群中，1%是假陰性，99%是真陽性。但在沒有患病的人群中，1%是假陽性，99%是真陰性。所以按照這種說法，王紅自己可能有99%的概率患有這種病。
王紅想，就算假陽性率只有1%而99%都是真陽性，那麽我的人群感染過這種病的概率應該是99%。但是醫生告訴他，她在壹般人群中被感染的概率只有0.09(9%)左右。這是怎麽回事？王紅的錯誤觀念在哪裏？
色彩圖庫:pexls博士說:“99%？沒有那麽大的概率感。99%是檢測的準確率，而不是妳生病的概率。妳忘了壹件事:這種病的正常感染率並不大，1000人中只有壹人患病。”本來這個博士除了醫學還愛研究數學，醫學上也經常用到概率方法。
他的計算方法大多是這樣的:由於檢測的漏報率為1%，很快就會有1000人被報為“假陽性”，按照這種疾病在人群中的比例(1/1000=0.1%)。11陽性人群中只有壹個是真陽性(患病)，那麽王紅被感染的概率大概是1/11，也就是0.09(9%)。
王宏思想來想去還是覺得很迷茫，但這件事卻強化了王宏對之前學過的概率論的記憶。看了文章，思考了醫生的優化算法，他意識到自己犯了壹個錯誤，叫做“基本比例謬誤”，就是忘記應用“這種疾病在人群中最基本的比例是(1/1000)”這個事實。
說到比例謬誤，我們最好從概率論中著名的貝葉斯定理說起。Thomas Bayes(1701-1761)是英國統計學家，曾經是法師。貝葉斯定理是他對概率論和應用統計學的巨大貢獻，是當今人工智能技術常用的機器學習算法的基本框架。它的概念遠比普通人的認知能力要深刻，也許貝葉斯本人在生前並不知道這件事。因為這麽關鍵的成果，他生前沒有發表，去世後才由好朋友發表1763。
粗略地說，貝葉斯定理涉及到兩個隨機變量A和B的相互作用，如果用壹句話概括，這些規律就是關於如何在B不存在的情況下，對A的“先驗概率”P(A)進行修正，從而得到B存在後的“標準概率”P(A|B)，或者說後驗概率。如果編寫壹個公式來計算:
這裏先驗和後驗的定義是常規的和相對的。比如A和B也可以反過來描述，即如何從B的先驗概率P(B)得到B的“標準概率”P(B | a)，如圖中斜線所示。
不要害怕公式計算。根據例子，我們可以逐漸了解它。例如，在王紅就醫的案例中，隨機變量A表示“王紅德患有某種疾病”；隨機變量b表示“王紅的測試結果”。先驗概率P(A)是指在沒有任何檢測結果的情況下，王紅得了這個病的概率(即這個病在公眾中最基本的概率是0.1%)；標準概率(或後驗概率)P(A|B)是指在“檢測結果為陽性”的情況下，王紅得此病的概率(9%)。如何從基本概率調整到後驗概率？我們以後再談。
貝葉斯定理是18新世紀時代的產物。2000年明年就好用了，不想70年代就遇到考驗。該檢驗來自於DanielKahneman和Tversky提出的“基本比例謬誤”。前者是壹位非裔心理學家，2002年獲得諾貝爾經濟學獎。
比例謬誤基本上不是否定貝葉斯定理，而是討論壹個令人困惑的問題:為什麽人類的直覺往往與貝葉斯公式的價值背道而馳？正如剛才的例子所示，人們在使用判斷時經常忽略基本概率。卡尼曼等人在他們的文章《思考，快與慢》中對壹輛出租車不屑壹顧，以此來啟發大家考慮危害大家“管理決策”的主要原因。我們這裏不想談基本比例謬誤對“決策論”的價值，只是用這個例子來增強我們對貝葉斯公式的理解。
假設壹個城市有藍色和綠色兩種出租車(市場占有率為15∶85)。晚上壹輛出租車肇事逃逸，幸好當時有目擊者。目擊者估計肇事者的出租車是藍色的。然而，他的“真實性”呢？
公安機關對證人在相同自然環境下進行“綠藍”測試，得出:80%的案件認定正確，20%的案件認定錯誤。或許有讀者馬上得到了結果:肇事車是藍色的概率應該是80%。如果妳做出這樣的回應，妳就是在犯和上面例子中王紅壹樣的錯誤，忽略了先驗概率，沒有考慮這個城市最基本的“綠藍”車比例。