壹、選擇題
1.有理數－3的相反數是( )
A．3 B．－3 C． D．
2.函數 中自變量x的取值範圍是( )
A．x≥0 B．x≥－2 C．x≥2 D．x≤－2
3.如圖,數軸上表示的是某不等式組的解集,則這個不等式組可能是( )
A． B． C． D．
4.下列事件中,為必然事件的是( )
A．購買壹張彩票,中獎.
B．打開電視,正在播放廣告.
C．拋擲壹枚硬幣,正面向上.
D．壹個袋中只裝有5個黑球,從中摸出壹個球是黑球.
5.若x1,x2是壹元二次方程x2＋4x＋3＝0的兩個根,則x1x2的值是( )
A．4 B．3 C．－4 D．－3
6.據報道,2011年全國普通高等學校招生計劃約675萬人,數6750000用科學記數法表示為( )
A．675×104 B．67.5×105 C．6.75×106 D．0.675×107
7.如圖,在梯形ABCD中,AB∥DC,AD＝DC＝CB,
若∠ABD＝25?,則∠BAD的大小是( )
A．40? B．45? C．50? D．60?
8.右圖是某物體的直觀圖,它的俯視圖是( )
9.在直角坐標系中,我們把橫、縱坐標都是整數的點叫做整點.且規定,正方形的內部不包含邊界上的點.觀察如圖所示的中心在原點、壹邊平行於x軸的正方形；邊長為1的正方形內部有1個整點.邊長為2的正方形內部有1個整點,邊長為3的正方形內部有9個整點,….則邊長為8的正方形內部的整點的個數為( )
A．64 B．49 C．36 D．25
10.如圖,鐵路MN和公路PQ在點O處交匯,∠QON＝30?.公路PQ上A處距離O點240米.如果火車行駛時,周圍200米以內會受到噪音的影響.那麽火車在鐵路MN上沿ON方向以72千米/時的速度行駛時,A處受噪音影響的時間為( )
A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．24秒
11.為廣泛開展陽光健身活動,2010年紅星中學投入維修場地、安裝設施、購置器材及其它項目的資金***38萬元.圖1、圖2分別反映的是2010年投入資金分配和2008年以來購買器材投入資金的年增長率的具體數據.
根據以上信息,下列判斷:①在2010年總投入中購置器材的資金最多；②2009年購置器材投入資金比2010年購置器材投入資金多8%；③若2011年購置器材投入資金的年增長率與2010年購置器材投入資金的年增長率相同,則2011年購置器材的投入是38×38%×(1＋32%)萬元.
其中正確判斷的個數是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
12.如圖,在菱形ABCD中,AB＝BD,點E,F分別在AB,AD上,且AE＝DF.連接BF與DE相交於點G,連接CG與BD相交於點H.下列結論:
①△AFD≌△DFB；② ；
③若AF＝2DF,則BG＝6GF.
其中正確的結論( )
A．只有①② B．只有①③
C．只有②③ D．①②③
二、填空題
13.sin30?的值為__________.
14.某次數學測驗中,五位同學的分數分別是:89,91,105,105,110.這組數據的中位數是__________,眾數是__________,平均數是__________.
15.壹個裝有進水管和出水管的容器,從某時刻起只打開進水管進水,經過壹段時間,再打開出水管放水.至12分鐘時,關停進水管.在打開進水管到關停進水管這段時間內,容器內的水量y(單位:升)與時間x(單位:分鐘)之間的函數關系如圖所示.關停進水管後,經過__________分鐘,容器中的水恰好放完.
16.如圖, 的頂點A,B的坐標分別是A(－1,0),
B(0,－2),頂點C,D在雙曲線 上,邊AD交y軸於點E,且四邊形BCDE的面積是△ABE面積的5倍,則k＝__________.
三、解答題
17.解方程:x2＋3x＋1＝0.
18.先化簡,再求值: ,其中x＝3.
19.如圖,D,E分別是AB,AC上的點,
且AB＝AC,AD＝AE.求證:∠B＝∠C．
20.經過某十字路口的汽車,它可能繼續直行,也可能向左轉或向右轉.如果這三種可能性大小相同,現有兩輛汽車經過這個十字路口.
（1）試用樹形圖或列表法中的壹種列舉出這兩輛汽車行駛方向所有可能的結果；
（2）求至少有壹輛汽車向左轉的概率.
21.在平面直角坐標系中,△ABC的頂點坐標是A(－7,1),B(1,1),C(1,7).線段DE的端點坐標是D(7,－1),E(－1,－7).
（1）試說明如何平移線段AC,使其與線段ED重合；
（2）將△ABC繞坐標原點O逆時針旋轉,使AC的對應邊為DE,請直接寫出點B的對應點F的坐標；
（3）畫出（2）中的△DEF,並和△ABC同時繞坐標原點O逆時針旋轉90?,畫出旋轉後的圖形.
22.如圖,PA為⊙O的切線,A為切點.過A作OP的垂線AB,垂足為點C,交⊙O於點B,延長BO交⊙O交於點D,與PA的延長線交於點E.
（1）求證:PB為⊙O的切線；
（2）若tan∠ABE＝ ,求sinE的值.
23.星光中學課外活動小組準備圍建壹個矩形生物苗圃園.其中壹邊靠墻,另外三邊用長為30米的籬笆圍成.已知墻長為18米(如圖所示),設這個苗圃園垂直於墻的壹邊的長為x米.
（1）若平行於墻的壹邊的長為y米,直接寫出y與x之間的函數關系式及其自變量x的取值範圍；
（2）垂直於墻的壹邊的長為多少米時,這個苗圃園的面積最大,並求出這個最大值；
（3）當這個苗圃園的面積不小於88平方米時,試結合函數圖象,直接寫出x的取值範圍.
24.（1）如圖1,在△ABC中,點D,E,Q分別在AB,AC,BC上,
且DE∥BC,AQ交DE於點P.求證: .
（2）如圖,在△ABC中,∠BAC＝90?,正方形DEFG的四個頂點在△ABC的邊上.連接AG,AF分別交DE於M,N兩點.
①如圖2,若AB＝AC＝1,直接寫出MN的長；
②如圖3,求證:MN2＝DM?EN.
25.如圖1,拋物線y＝ax2＋bx＋3經過A(－3,0),B(－1,0)兩點.
（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線的頂點為M,直線y＝－2x＋9與y軸交於點C,與直線OM交於點D．現將拋物線平移,保持頂點在直線OD上.若平移的拋物線與射線CD(含端點C)只有壹個公***點,求它的頂點橫坐標的值或取值範圍；
（3）如圖2,將拋物線平移,當頂點至原點時,過Q(0,3)作不平行於x軸的直線交拋物線於E,F兩點.問在y軸的負半軸上是否存在點P,使△PEF的內心在y軸上.若存在,求出點P的坐標；若不存在,請說明理由.
2011年武漢市初中畢業生數學學業考試
參考答案
壹、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C B D B C C A B B C D
二、填空題
13. . 14.105；105；100. 15.8. 16.12.
三、解答題
17.解:∵a＝1,b＝3,c＝1.
∴△＝b2－4ac＝9－4×1×1＝5＞0
∴x＝ .
∴x1＝ ,x2＝ .
18.原式＝
＝ ?
＝ .
∴當x＝3時,原式＝ .
19.證明:在△ABE和△ACD中,
∴△ABE≌△ACD．
∴∠B＝∠C．
20.解法1:（1）根據題意,可以畫出如下的“樹形圖”:
∴這兩輛汽車行駛方向***有9種可能的結果.
（2）由（1）中“樹形圖”知,至少有壹輛汽車向左轉的結果有5種,且所有結果的可能性相等.
∴P(至少有壹輛汽車向左轉)＝ .
解法2:根據題意,可以列出如下的表格:
左 直 右
左 (左,左) (左,直) (左,右)
直 (直,左) (直,直) (直,右)
右 (右,左) (右,直) (右,右)
以下同解法1(略).
21.（1）將線段AC先向右平移6個單位,再向下平移8個單位.(其它平移方式也可)
（2）F(－1,－1).
（3）畫出如圖所示的正確圖形.
22.（1）證明:連接OA,
∵PA為⊙O的切線,∴∠PAO＝90?.
∵OA＝OB,OP⊥AB於C,
∴BC＝CA,PB＝PA,
∴△PBO≌△PAO.
∴∠PBO＝∠PAO＝90?,
∴PB為⊙O的切線.
（2）解法1:連接AD,∵BD是直徑,∠BAD＝90?,
由（1）知∠BCO＝90?,∴AD∥OP,∴△ADE∽△POE.∴ .
由AD∥OC得AD＝2OC．
∵tan∠ABE＝ ,∴ ＝ .設OC＝t,則BC＝2t,AD＝2t.
由△PBC∽△BOC,得PC＝2BC＝4t,OP＝5t.
∴ ＝ ＝ .
可設EA＝2m,EP＝5m,則PA＝3m.
∵PA＝PB,∴PB＝3m,∴sinE＝ .
（2）解法2:連接AD,則∠BAD＝90?,由（1）知∠BCO＝90?.
∵AD∥OC,∴AD＝2OC．
∵tan∠ABE＝ ,∴ ＝ .設OC＝t,則BC＝2t,AB＝4t.
由△PBC∽△BOC,得PC＝2BC＝4t,∴PA＝PB＝ .
過A作AF⊥PB於F,則AF?PB＝AB?PC,∴AF＝ .
進而由勾股定理得PF＝ .
∴sinE＝sin∠FAP＝ ＝ .
23.解:（1）y＝30－2x(6≤x＜15).
（2）設矩形苗圃園的面積為S.
則S＝xy＝x(30－2x)＝－2x2＋30x
∴S＝－2(x－7.5)2＋112.5.
由（1）知,6≤x＜15.
∴當x＝7.5時, .
即當矩形苗圃園垂直於墻的邊長為7.5米時,這個苗圃園的面積最大,
最大值為112.5.
（3）6≤x≤11.
24.（1）證明:在△ABQ中,由於DP∥BQ,
∴△ADP∽,∴ ＝ .
同理在△ACQ中, ＝ .
∴ ＝ .
（2） .
（3）證明:∵∠B＋∠C＝90?,∠CEF＋∠C＝90?,
∴∠B＝∠CEF,
又∵∠BGB＝∠EFC,
∴△BGD∽△EFC．
∴ ＝ ,∴DG?EF＝CF?BG.
又∵DG＝GF＝EF,
∴GF2＝CF?BG.
由（1）得 ＝ ＝ ,
∴ ＝ ? ,
∴MN2＝DM?EN.
25.（1）拋物線y＝ax2＋bx＋3經過A(－3,0),B(－1,0)兩點,
∴
解得
∴拋物線的解析式為y＝x2＋4x＋3.
（2）由（1）配方得y＝(x＋2)2－1,∴拋物線的頂點M(－2,－1).
∴直線OD的解析式為y＝ x.
於是設平移的拋物線的頂點坐標為(h, h),
∴平移的拋物線解析式為y＝(x－h)2＋ h.
①當拋物線經過點C時,
∵C(0,9),∴h2＋ h＝9,解得h＝ .
∴當 ≤h＜ 時,平移的拋物線與射線CD只有壹個公***點.
②當拋物線與直線CD只有壹個公***點時,
由方程組 得 x2＋(－2h＋2)x＋h2＋ h－9＝0,
∴△＝(－2h＋2)2－4(h2＋ h－9)＝0,
解得h＝4.
此時拋物線y＝(x－4)2＋2與射線CD唯壹的公***點為(3,3),符合題意.
綜上:平移的拋物線與射線CD只有壹個公***點時,頂點橫坐標的值或取值範圍是
h＝4或 ≤h＜ .
（3）方法1 將拋物線平移.當頂點至原點時,其解析式為y＝x2,
設EF的解析式為y＝kx＋3(k≠0).
假設存在滿足題設條件的點P(0,t).
如圖,過P作GH∥x軸,分別過E、F作GH的垂線,垂足為G,H.
∵△PEF的內心在y軸上,
∴∠GEP＝∠EPQ＝∠QPF＝∠HFP,
∴△GEP∽△HFP,
∴ ＝ ,∴ .
∴2k ? ＝(t－3)( ＋ ).
由 得x2－kx－3＝0.
∴ ＋ ＝k, ? ＝－3.
∴2k(－3)＝(t－3)k,∵k≠0,∴t＝－3.
∴y軸的負半軸上存在點P(0,－3),使△PEF的內心在y軸上.
方法2 設EF的解析式為y＝kx＋3(k≠0),點E,F的坐標分別為(m,m2),(n,n2)
由方法1知:mn＝－3.
作點E關於y軸的對稱點R(－m,m2),作直線FR交y軸於點P.
由對稱軸知∠EPQ＝∠FPQ,
∴點P就是所求的點.
由F,R的坐標,可得直線FR的解析式為y＝(n－m)x＋mn.
當x＝0,y＝mn＝－3,∴P(0,－3).
∴y軸的負半軸上存在點P(0,－3),使△PEF的內心在y軸上.