這篇文章中的名字安德烈·尼古拉耶維奇是科爾莫·戈洛夫(有時翻譯成“安德雷·柯爾莫哥洛夫”)。
科爾莫·戈洛夫，我們中間的天才:研究風格
現在是時候再次回到科爾莫戈羅夫的科學生涯，討論他的創作模式的壹些特點，這種創作模式在許多方面促成了壹個極其重要的科學學派的建立。事物可以在對比中呈現。下面我想比較壹下科爾莫戈羅夫的創作特點和他的傑出同事和同時代人的創作方法。
我記得有壹次科爾莫·戈洛夫和我們談論誰是我們這個時代最偉大的數學家。交談中，大家發現試圖以任何名義糾纏都是徒勞的:無法達成壹致。最偉大的數學家的集合相對較少，但很清楚:如果妳問誰是100個最偉大的數學家或兩個最偉大的數學家，他們會給出大致相同的名字。後來在我和朋友的交談中，不止壹次涉及到這個話題(尤其是我們小的時候)。排在第壹位的是誰——柯爾莫·戈洛夫、維諾格拉多夫(我是，我國的華先生都很尊敬他，他們有很深的友誼)、伯恩斯坦(SN Bernshtein)、彼得羅夫斯基(I. G. Petrovsky)、L .龐特裏亞金(s .龐特裏亞金)、蓋爾·方德(我這只是蘇聯時代的壹位中國數學家。當然，我承認我們可以加上我國其他偉大數學家的名字。姑且把希爾伯特的名字加到這個名單裏吧——他是20世紀前三分之壹最重要的數學家，科爾莫·戈洛夫對他推崇備至，親自把它盡情地寫進了蘇聯的百科全書。許多其他外國數學家的名字也將在我們的名單上——包括哈達瑪、布勞威爾、G？德爾、西格爾、e .卡坦、a .卡坦、勒貝格、萊維等。)
Kolmogorov的創作方式和上面提到的所有數學家有著本質的區別。蓋爾方德曾在壹次談話中說，“數學是壹場馬拉松。”這是壹個深刻的思想。毫無疑問，格爾豐德本人和上面列出的所有其他數學家都是“馬拉松運動員”。科爾莫·戈洛夫屬於另壹類科學家(但除了他自己，我不認識像他這樣的人)。安德烈·尼古拉耶維奇當然也是“馬拉松運動員”，但他主要是途中的短跑運動員。
這是什麽意思？多年來，無論是在文章中還是在個人談話中，科爾莫·戈洛夫經常引用數學家德隆的壹句話。德隆曾經在奧運會閉幕式上當著小學生的面發言，說數學家的工作和奧林匹克數學競賽參與者的工作是不壹樣的。解壹道奧數題大概需要1個小時，但解壹道真實而深刻的數學題卻需要5000個小時。這個值——5000小時——代表了馬拉松數學家的工作特點。
然而，每當談到自己時，安德烈·尼古拉耶維奇都表現出明顯的尷尬。他做不到這“著名”的5000小時。他在接受采訪時說:“在我的整個科研生涯中，我可以連續工作壹周左右，也許最多兩周，但我做不了更多。”大約四十年前，我第壹次聽到類似的事情:在課堂上，他提到了壹個小得多的數字——他思考了三天構造壹個幾乎處處發散的傅立葉級數的例子，最後恍然大悟。在早期，他將這個結果稱為他現有成就中技術難度最大的。後天，安德雷·柯爾莫哥洛夫選擇了他在技術上最困難的結果作為後來導致解決希爾伯特13問題的定理，並提到了兩個星期的不懈思考。
我們可以看到，這些例子反映了安德烈·尼古拉耶維奇的獨特風格。他知道如何在相對較短的時間內集中巨大的能量。這種能量的積累產生了強大的效應，在看似堅不可摧的堡壘墻壁上打開了壹個巨大的裂縫，導致幾十個，有時幾百個和幾千個研究人員沖向那裏。但科爾莫·戈洛夫本人已經離開了這壹切，他的思想轉向了其他目標。這在我眼前發生過很多次。或許從這個角度瀏覽壹下科爾莫戈羅夫的整個創作過程會很有趣。
在Aleksandrov課程的影響下，Kolmo Golov完成了描述集合論的第壹部重要著作。他意識到Aleksandrov的主要思想(構造A-集合)可以和Suslin的主要思想(證明A-集合比B-集合寬)結合起來，奠定了集合運算理論的基礎。他的導師盧津當時並不理解這篇文章，所以它的第壹部分在7年後發表了——1928(第二部分在1987年作為附錄發表在《科爾莫·戈洛夫選集》第三卷中)。安德烈·尼古拉耶維奇沒有繼續寫這個問題。隨後該理論變得非常活躍，安德烈·尼古拉耶維奇的著作成為來源之壹。
接下來是科爾莫·戈洛夫在科學研究早期的最大發現——他構造了壹個可測函數，其傅立葉級數幾乎處處發散(就像我們剛剛提到的)。科爾莫·戈洛夫研究了壹段時間三角和正交級數理論，但他的興趣轉向了概率論(他與秦心密切合作了幾年)。在1930的早期，他的努力以完成兩部具有根本重要性的著作而告終:論文《論概率論的分析方法》和專著《概率論的基本概念》。除了這些馬拉松式的成就，還有壹些短跑式的成就，尤其是他在數理邏輯方面的研究，以及他在數理統計和拓撲學方面的傑出工作(其中他和美國代數拓撲學家亞歷山大獨立引入了最重要的拓撲概念——“同調”)。這壹切都發生在20世紀30年代。這裏是他的兩篇關於逼近論的短文，奠定了新的基本方向的基礎，開映射下的增維問題的解決等成果。他在20世紀60年代末和60年代初致力於湍流理論。這些研究也有“馬拉松”的成分。
上世紀40年代，科爾莫·戈洛夫建立了射擊理論(這裏有“馬拉松”的成分)，奠定了所謂分支過程理論的基礎(這可能是“沖刺”的成果)。
回到20世紀50年代。壹個突如其來的偉大洞見導致了KAM理論的誕生。安德烈·尼古拉耶維奇本人只在蘇聯科學院學報上發表了兩篇短文，組織了壹次力學和數學的研討會，作了阿姆斯特丹世界數學家大會的閉幕報告。從65438到0955，信息論開始讓他感興趣。但與此同時，他“意外地”幾乎完全解決了希爾伯特的13問題(當然是以硬壓為代價):他證明了任何四個或四個以上變量的連續函數都可以表示為三個變量的連續函數的疊加。他又壹次沒有繼續研究問題的最終解決方案。並把這個問題留給了他的學生阿諾德(當時大三)去解決。
.....1957年夏天的壹天，我到了科馬羅夫卡(這裏有科爾莫·戈洛夫和阿列克山大羅夫的鄉村小屋)。Kolmo Golov老師告訴我，前壹天，他在思考解決希爾伯特13問題的結構時，突然意識到自己找到了壹個異常簡單的新方法來解決這個問題，加強了Arnold的結果。當我到達的時候，壹篇為蘇聯科學院學報寫的短文已經寫好了！動力系統的馮·諾依曼問題(這個問題已經存在了二十多年，所有的動力系統專家都想解決)也是如此，即譜是否是動力系統的完整表象。另壹次發生在我拜訪科馬羅夫卡的時候。安德烈·尼古拉耶維奇突然說:“熵是不變量，光有光譜是不夠的。”這種頓悟又壹次導致了突破，幾名研究人員沖進了缺口，其中包括許多壹流的數學家；正如經常發生的那樣，科爾莫·戈洛夫把自己局限在《蘇聯科學院學報》的壹篇論文中，只取得了第壹次突破，然後就拂袖而去。這是另壹個例子。有壹天，安德烈·尼古拉耶維奇和我將去列寧格勒參加壹個會議。晚上，我們在車廂的走廊裏談論不同的事情。突然他告訴我他剛剛想到這個主意(就在那裏，在壹次談話中！在線性拓撲空間的線性映射下，熵也可以是不變的。很快我寫了壹篇短文，很多數學家又對這個話題產生了興趣。在我的記憶中，在那之後，Kolmo Golov先生甚至從未想過這個領域會發生什麽。
很容易發現，科爾莫·戈洛夫與上面列出的任何壹位“最偉大”的數學家都沒有什麽共同之處。與安德雷·柯爾莫哥洛夫最鮮明的對比是希爾伯特。由於科爾莫戈羅夫創作天才的“沖刺”特征，他成功地突破和開拓了大量的難題和領域。在我之前寫的壹篇關於安德烈·尼古拉耶維奇的文章中，我列舉了大約40個數學、自然科學和人文科學的領域，他在這些領域都留下了基本的印記(盡管他仍然沒有用盡他所創造的壹切)。在幾乎任何壹個子學科中，安德烈·尼古拉耶維奇的研究都是先驅者的工作，包括基礎理論的創立，而新領域剩下的完善則留給弟子和追隨者。作為對比，希爾伯特潛心研究純數學的八個課題多年，有時甚至幾十年，試圖“找到基礎、根和核心”。伯恩斯坦、維諾格拉多夫、彼得羅夫斯基和龐特裏亞金的研究風格與希爾伯特相似。蓋爾方德是壹個特例:他總是與同事合作，而我們名單上的其他科學家都是獨自工作。和科爾莫·戈洛夫壹樣，格爾豐德研究過很多領域，他無疑是壹個“馬拉松運動員”。)
綜上所述，Kolmo Golov總能產生很多想法，滋養著和他壹起工作的學生。事實上，安德烈·尼古拉耶維奇通常不會和他的學生壹起工作:他不會按照普遍接受的“指導”壹詞的意義來教他們。他只是傳播問題、假設，並分享想法和方法——在科馬羅夫卡小舍的講座、散步和喝茶時...這些戰略定位的問題往往不僅僅是壹個數學問題，還包含更廣泛的科學(或哲學)意義。如果壹個弟子踏上了這些道路中的壹條，他就可以繼續提升自己，而不會輕率地說“壹切都解決了”。
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