設是任何維的壹般旋轉矩陣:兩個向量的點積在它們都被壹個旋轉矩陣操作之後保持不變:從而得出旋轉矩陣的逆矩陣是它的轉置矩陣:這裏的是單位矩陣。壹個矩陣是旋轉矩陣，當且僅當它是正交矩陣並且它的行列式是單位壹。正交矩陣的行列式是±1；如果行列式是1，則它包含了壹個反射而不是真旋轉矩陣。旋轉矩陣是正交矩陣，如果它的列向量形成的壹個正交基，就是說在任何兩個列向量之間的標量積是零(正交性)而每個列向量的大小是單位壹(單位向量)。任何旋轉向量可以表示為斜對稱矩陣A的指數:這裏的指數是以泰勒級數定義的而是以矩陣乘法定義的。A矩陣叫做旋轉的“生成元”。旋轉矩陣的李代數是它的生成元的代數，它就是斜對稱矩陣的代數。生成元可以通過M的矩陣對數來找到。編輯本段二維空間在二維空間中，旋轉可以用壹個單壹的角θ定義。作為約定，正角表示逆時針旋轉。把笛卡爾坐標的列向量關於原點逆時針旋轉θ的矩陣是:cosθ-sinθsinθcosθ編輯本段三維空間在三維空間中，旋轉矩陣有壹個等於單位壹的實特征值。旋轉矩陣指定關於對應的特征向量的旋轉(歐拉旋轉定理)。如果旋轉角是θ，則旋轉矩陣的另外兩個(復數)特征值是exp(iθ)和exp(-iθ)。從而得出3維旋轉的跡數等於1 2cos(θ)，這可用來快速的計算任何3維旋轉的旋轉角。3維旋轉矩陣的生成元是三維斜對稱矩陣。因為只需要三個實數來指定3維斜對稱矩陣，得出只用三個是實數就可以指定壹個3維旋轉矩陣。生成旋轉矩陣的壹種簡單方式是把它作為三個基本旋轉的序列復合。關於右手笛卡爾坐標系的x-,y-和z-軸的旋轉分別叫做roll,pitch和yaw旋轉。因為這些旋轉被表達為關於壹個軸的旋轉，它們的生成元很容易表達。繞x-軸的旋轉定義為:這裏的θx是roll角。繞y-軸的旋轉定義為:這裏的θy是pitch角。繞z-軸的旋轉定義為:這裏的θz是yaw角。在飛行動力學中，roll,pitch和yaw角通常分別采用符號γ,α,和β；但是為了避免混淆於歐拉角這裏使用符號θx,θy和θz。任何3維旋轉矩陣都可以用這三個角θx,θy,和θz來刻畫，並且可以表示為roll,pitch和yaw矩陣的乘積。是在中的旋轉矩陣在中所有旋轉的集合，加上復合運算形成了旋轉群SO(3)。這裏討論的矩陣接著提供了這個群的群表示。更高維的情況可參見Givens旋轉。角-軸表示和四元數表示在三維中，旋轉可以通過單壹的旋轉角θ和所圍繞的單位向量方向來定義。這個旋轉可以簡單的以生成元來表達:在運算於向量r上的時候，這等價於Rodrigues旋轉公式：角-軸表示密切關聯於四元數表示。依據軸和角，四元數可以給出為正規化四元數Q:這裏的i,j和k是Q的三個虛部。歐拉角表示在三維空間中，旋轉可以通過三個歐拉角(α,β,γ)來定義。有壹些可能的歐拉角定義，每個都可以依據roll,pitch和yaw的復合來表達。依據"z-x-z"歐拉角，在右手笛卡爾坐標中的旋轉矩陣可表達為:進行乘法運算生成:因為這個旋轉矩陣不可以表達為關於壹個單壹軸的旋轉，它的生成元不能像上面例子那樣簡單表達出來。對稱保持SVD表示對旋轉軸q和旋轉角θ，旋轉矩陣這裏的的縱列張開正交於q的空間而G是θ度Givens旋轉
cos@,-sin@ sin@,cos@