數學四級考試大綱
數學四
考試科目
微積分、線性代數、概率論
微分積分
壹、函數、極限和連續性
考試內容
函數的概念和表示；函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性；復合函數、反函數和隱函數分段函數的基本初等函數的性質和圖形。
初等函數簡單應用中函數關系的建立
數列極限和函數極限的定義及其性質，函數的左極限和右極限，無窮小和無窮小的概念及其關系，無窮小的性質和無窮小比較極限的四個運算極限，兩個重要的極限:單調有界判據和夾點判據；
函數連續性的概念函數間斷點的類型初等函數的連續性閉區間上連續函數的性質
考試要求
1.理解函數的概念，掌握函數的表示方法，會建立簡單應用題中的函數關系。
2.理解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性。
3.理解復合函數和分段函數的概念，以及隱函數和反函數的概念。
4、掌握基本初等函數的性質和圖形，理解初等函數的概念。
5.理解數列極限和函數極限(包括坐極限和右極限)的概念。
6.了解無窮小的概念和基本性質，掌握無窮小的比較方法，了解無窮小的概念及其關系。
7.知道極限的性質和極限存在的兩個判據，掌握極限的四種算法，就會應用兩個重要的極限。
8.理解函數連續(包括左連續和右連續)的概念，會區分函數不連續點的類型。
9.了解連續函數的性質和初等函數的連續性，了解閉區間上連續函數的性質(有界性、最大值定理、中值定理)及其簡單應用。
二、壹元函數微分學
考試內容
導數的概念導數的幾何意義和經濟意義函數的可導性與連續性的關系導數的四則運算復合函數、反函數、基本初等函數的隱函數的導數的概念和運算規則壹階微分形式的不變性。
羅爾定理、拉格郎中值定理及其應用:醫院法；單調性函數極值函數圖的凹凸性：拐點；以及漸近線函數圖的繪制函數的最大值和最小值。
考試要求
1，了解導數的概念以及可導性和連續性的關系，了解導數的幾何意義和經濟意義(包括邊際和彈性的概念)。
2.掌握基本初等函數的求導公式，導數的四則運算法則，復合函數的求導法則，可以求分段函數的求導，求反函數和隱函數的求導。3.如果妳理解了高階導數的概念，妳會發現簡單函數的高階導數。
4.理解微分的概念，導數與微分的關系，壹階微分形式的不變性，妳就會找到函數的微分。
5.了解羅爾定理和拉格朗日均值定理，掌握這兩個定理的簡單應用。
6、會用洛必達定律求極限。
7.掌握函數單調性的判斷方法及其應用，掌握函數極值、最大值、最小值的求解，會解決簡單的應用問題。
8.我們會通過導數來判斷函數圖的凹凸性，找到函數圖的拐點和斜漸近線。
9.可以制作簡單函數的圖形。
三、壹元函數的積分學
考試內容
原函數和不定積分的概念不定積分的基本性質基本積分公式的概念和定積分中值定理的基本性質積分上限及其導數的函數牛頓-萊布尼茲公式換元積分不定積分和定積分的積分方法及分部積分的應用廣義積分定積分。
考試要求
1.理解原函數和不定積分的概念，掌握不定積分的基本性質和基本積分公式，掌握不定積分的換元積分法和分部積分法。
2.了解定積分的概念和基本性質，了解定積分的中值定理，了解積分上限的作用並求其導數，掌握牛頓-萊布尼茨公式，以及定積分的代換積分法和分部積分法。
3.我們可以用定積分計算平面圖形的面積和旋轉體的體積，可以用定積分解決簡單的經濟應用問題。
4、理解廣義積分的概念，能計算廣義積分。
四、多元函數微積分
考試內容
多元函數的概念、二元函數的幾何意義、二元函數的極限和連續性的概念、多元函數在有界閉區域的偏導數的概念和計算、多元復合函數的求導方法和隱函數的求導方法、二階偏導數全微分多元函數二重積分的概念、基本性質和計算、無界區域簡單二重積分的計算。
考試要求
1，理解多元函數的概念，理解二元函數的幾何意義。
2.了解二元函數極限和連續性的直觀意義，了解二元連續函數在有界閉區域的性質。
3.理解多元函數的偏導數和全微分的概念，可以求多元復合函數的壹階和二階偏導數，可以利用隱函數的求導法則。
4.了解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，求二元函數極值，用拉格朗日乘數法求條件極值，求簡單多元函數的最大值和最小值，解決壹些簡單的應用問題。
5.了解二重積分的概念和基本性質，掌握二重積分(直角坐標和極坐標)的計算方法，了解無界區域的簡單廣義二重積分和計算常微分方程。
考試內容
常微分方程的基本概念可分離變量微分方程齊次微分方程壹階線性微分方程
考試要求
1.了解微分方程及其解、階、通解、初始條件、特解等概念。
2.掌握微分方程、齊次微分方程、變量可分離的壹階線性微分方程的解法。
線性代數
壹.決定因素
考試內容
行列式的概念和基本性質行列式按行(列)展開定理
考試要求
1，理解行列式的概念，掌握行列式的性質。
2、會應用行列式的性質和行列式按行(列)展開定理計算行列式。
第二，矩陣
考試內容
矩陣的概念、矩陣的線性運算、矩陣的乘法、行列式矩陣的轉置逆矩陣的概念和性質、矩陣可逆的充要條件、矩陣的初等變換與初等矩陣的秩矩陣的等價分塊矩陣及其運算
考試要求
1.了解矩陣的概念，單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣的定義和性質，對稱矩陣、反對稱矩陣、正交矩陣的定義和性質。
2.掌握矩陣的線性運算、乘法及其運算規則，掌握矩陣轉置的性質，了解矩陣的冪，掌握矩陣乘積的行列式的性質。
3.了解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質，矩陣可逆的充要條件，了解伴隨矩陣的概念，利用伴隨矩陣求逆矩陣。
4.了解矩陣的初等變換和初等矩陣及矩陣等價的概念，了解矩陣秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的逆矩陣和秩的方法。
5.了解分塊矩陣的概念，掌握分塊矩陣的算法。
第三，矢量
考試內容
向量的概念向量的線性組合和向量組的線性相關的線性表示以及線性無關向量組的最大線性無關性等價於向量組的秩與矩陣的秩的關系向量的內積線性無關向量組的正交歸壹方法。
考試要求
1，理解向量的概念，掌握向量的加法和乘法的算術。
2.了解向量的線性組合和線性表示、向量組的線性相關和線性無關的概念，掌握向量組的線性相關和線性無關的相關性質和判別方法。
3.理解向量組的極大線性無關組的概念，求向量組的極大線性無關組和秩。
4.理解向量組等價的概念以及矩陣的秩與其行(列)向量組的秩之間的關系。
5.理解內積的概念，掌握線性無關向量組正交歸壹的施密特方法。
第四，線性方程組
考試內容
線性方程的克萊姆法則；線性方程解的存在和不存在的判定；齊次線性方程組的基本解系以及非齊次線性方程組的解與對應的齊次線性方程組的解之間的關系(導群)；非齊次線性方程組的通解。
考試要求
1，可以用Clemmer法則解線性方程組。
2.掌握非齊次線性方程組有解和無解的判斷方法。
3.了解齊次線性方程組基本解系的概念，掌握齊次線性方程組基本解系和通解的方法。
4.了解非齊次線性方程組的結構和通解的概念。
5.掌握用初等行變換解線性方程組的方法。
動詞 （verb的縮寫）矩陣的特征值和特征向量
考試內容
矩陣的特征值和特征向量的概念，性質相似矩陣的概念和性質矩陣相似對角化的充要條件，相似對角矩陣和相似對角矩陣的實對稱矩陣的特征值和特征向量。
考試要求
1.了解矩陣特征值和特征向量的概念，掌握矩陣特征值的性質，掌握求矩陣特征值和特征向量的方法。
2.了解矩陣相似的概念，掌握相似矩陣的性質，了解矩陣與對角矩陣相似的充要條件，掌握將矩陣轉化為相似對角矩陣的方法。
3.掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質。
概率論
壹.隨機事件和概率
考試內容
隨機事件與樣本空間中事件的關系及完全事件組概率的運算；概念概率的基本性質；古典概率幾何概率條件概率的基本公式；事件的獨立重復測試。
考試要求
1.了解樣本空間(基本事件空間)的概念，了解隨機事件的概念，掌握事件之間的關系和運算。
2.理解概率和條件概率的概念，掌握概率的基本性質，計算古典概率和幾何概率，掌握計算概率的加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式。
3.理解事件獨立性的概念，掌握具有事件獨立性的概率計算；了解獨立重復試驗的概念，掌握相關事件概率的計算方法。
二、隨機變量及其概率分布
考試內容
隨機變量分布函數的概念和性質隨機變量離散型隨機變量概率分布連續型隨機變量概率密度常見隨機變量概率分布隨機變量函數概率分布
考試要求
1.理解隨機變量的概念及其概率分布；理解分布函數
f(X)= P { X≤X }(-∞< X & lt；+∞)
的概念和性質；計算與隨機變量相關聯的事件的概率。
2.了解離散隨機變量的概念及其概率分布，掌握0-1分布、二項分布、超幾何分布、泊松分布及其應用。
3.掌握泊松定理的結論和應用條件，用泊松分布近似表示二項分布。
4.理解連續型隨機變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布、正態分布N(μ，σ2)、指數分布及其應用，其中參數為λ(λ>；0)的指數分布的密度函數是
5.求隨機變量函數的分布。
隨機變量的聯合概率分布
考試內容
隨機變量的聯合分布函數離散型隨機變量的聯合概率分布、邊緣分布和條件分布二維連續型隨機變量的概率密度、邊緣概率密度和條件密度常見二維隨機變量的獨立性和無關性兩個或兩個以上隨機變量的函數分布。
考試要求
1.了解隨機變量聯合分布函數的概念和基本性質。
2.了解二維離散型隨機變量的概率分布和二維連續型隨機變量的概率密度，掌握兩個隨機變量的邊緣分布和條件分布。
3.理解隨機變量的獨立性和無關性的概念，掌握隨機變量的獨立條件；理解隨機變量的無關性和獨立性的關系。
4.掌握二維均勻分布和二維正態分布，理解參數的概率意義。
5.兩個隨機變量的函數分布將根據聯合概率分布求出；根據幾個獨立隨機變量的概率分布，就會求出它們的函數的分布。
四、隨機變量的數值特征
考試內容
隨機變量的數學期望(均值)、方差、標準差及其性質隨機變量函數的數學期望切比雪夫不等式矩、協方差相關系數及其性質。
考試要求
1.理解隨機變量數值特征的概念(數學期望、方差、標準差、矩、協方差、相關系數)，運用數學特征的基本性質，掌握常見分布的數值特征。
2.知道隨機變量函數的數學期望。
3.理解切比雪夫不等式。
五、中心極限定理
考試內容
德莫維爾-拉普拉斯定理和李維-林德伯格定理。
考試要求
1.了解Lemmoff-Laplacian中心極限定理(二項分布以正態分布為極限分布)和Levi-Lindbergh中心極限定理(獨立同分布隨機變量的中心極限定理)，利用相關定理近似計算隨機事件的概率。
試輥結構
(壹)題目和考試時間
試卷滿分150，考試時間180分鐘。
(2)含量比例
高等數學50%左右
線性代數約占25%
概率論大概25%
(三)提問的比例
填空題和選擇題40%左右
回答問題(包括證明)60%左右