1，多元函數極限存在的條件
極限的存在是指當P(x，y)以任何方式逼近P0(x0，y0)時，函數無限逼近a，如果P(x，y)以某種方式逼近P0(x0，y0)，例如，即使函數無限逼近某個值，我們也不能得出函數極限存在的結論。反之，如果函數在P(x，y)以不同的方式趨向P0(x0，y0)時趨向不同的值，那麽可以得出結論，這個函數的極限不存在。比如函數:f(x，y)= { 0(xy)/(x ^ 2+y ^ 2)x ^ 2+y ^ 2≠0。
2.多元函數連續性的定義。
設函數f(x，y)定義在開區域(或閉區域)D中，P0(x0，y0)是D和P0∈D的內點或邊界點，若lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)，則稱為f(。
壹個多元連續函數，其性質(最大值定理和最小值定理)在壹個有界閉區域D上，必有壹個最大值和壹個最小值在D上。
壹個多元連續函數，其性質(中值定理)在有界閉區域D中，如果它在D上獲得兩個不同的函數值，它在D上至少獲得壹次這兩個值之間的任何值。
3.多元函數的連續性和可微性
如果壹元函數在某壹點有導數，那麽它在該點壹定是連續的，但是對於多元函數，即使所有偏導數在某壹點都存在，也不能保證函數在該點是連續的。這是因為偏導數的存在只能保證當點P沿平行於坐標軸的方向趨於P0時函數值f(P)趨於f(P0)，而不能以任何方式保證當點P趨於P0時函數值f(P)趨於f(P0)。
4.多元函數可微的必要條件
壹元函數在某壹點的導數存在是微分存在的充要條件，但多元函數偏導數存在只是全微分存在的必要條件，而不是充分條件，即微分= >；可微的
5.多元函數可微的充分條件
定理(充分條件)如果函數z=f(x，y)的偏導數存在且在點(x，y)連續，那麽函數在該點可微分。
6.多元函數極值存在的充要條件
定理(必要條件)假設函數z=f(x，y)在點(x0，y0)有偏導數，在點(x0，y0)有極值，那麽它在該點的偏導數壹定為零。
定理(充分條件)設函數z=f(x，y)在點(x0，y0)的壹個鄰域內連續且有壹階和二階連續偏導數，fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，使fxx(x0，y0)=0=A，.0有極值，A0有最小值時；(2)AC-B2
7.多元函數極值存在性的解決方法
(1)求解方程fx(x，y)=0，fy(x，y)=0的所有實數解，即可得到所有駐點。
(2)對於每個駐點(x0，y0)，求二階偏導數A，B，c的值(3)確定AC-B2的符號，判斷f(x0，y0)在充分條件下是最大值還是最小值。
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