01
債券久期
1.久期的概念
久期（Duration）是指市場收益率變動壹個百分點時，債券組合價值的波動幅度。它用來衡量債券組合對於利率變動的敏感性。
久期的概念最早是麥考利(Macaulay)在1938年提出來的，所以又稱麥考利久期（簡記為D）。麥考利久期是使用加權平均數的形式計算債券的平均到期時間。它是債券在未來產生現金流的時間的加權平均,其權重是各期現金值在債券價格中所占的比重。
具體的計算是：將每次債券現金流的現值除以債券價格得到每壹期現金支付的權重，並將每壹次現金流的時間同對應的權重相乘,最終合計出整個債券的久期。因此，麥考利久期的單位是年。
麥考利久期公式：
MacD表示麥考利久期；
ti表示i次現金流的時間；
V表示債券價值；
CFi表示第i次現金流的數量；
y表示收益率。
久期的計算公式就是壹個加權平均數的公式，因此可以被看成收回成本的平均時間。
案例1
麥考利久期計算示例。
有如下債券（如表1和表2所示）：
表1債券信息簡要
表2債券現金流
麥考利久期=
（3.863421084×0.931506849+3.72198563×1.931506849+93.22892715×2.931506849）÷債券全價=2.8179（年）
2.修正久期
在實際的債券分析中，久期已經超越了時間的概念，投資者更多地把它用來衡量債券價格變動對利率變化的敏感度，即衡量當收益率變化到壹定程度時，債券價格變化多少，並且經過壹定的修正，使其能精確地反映量化利率變動給債券價格造成的影響。由此，我們就有了修正久期這個概念。
修正久期公式：
k是壹年付息次數;
V是債券價格;
y是收益率。
修正久期的計算：
在案例1中，債券的修正久期是多少？
修正久期=麥考利久期/（1+收益率/付息頻率）=2.7148。
修正久期是債券價格對收益率的壹階導數，其經濟含義可以理解為，假如修正久期是5，當收益率下降1%時，債券價格上升5%。
修正久期越大，債券價格對收益率的變動就越敏感，收益率上升所引起的債券價格下降幅度就越大，而利率下降所引起的債券價格上升幅度也越大。可見，同等要素條件下，修正久期小的債券比修正久期大的債券抗收益率上升風險能力強，但當收益率下降時，收益能力較弱。
正是久期的上述特征給我們的債券投資提供了參照。當我們判斷當前的利率水平存在上升可能時，就可以集中投資於短期品種、縮短債券久期；當我們判斷當前的利率水平有可能下降時，則拉長債券久期、加大長期債券的投資，這就可以幫助我們在債市的上漲中獲得更高的溢價。
久期可以帶來債券投資管理中的壹個極其重要的策略——“免疫策略”的理論基礎，根據該策略，當交易主體債券組合的久期與債券的持有期相等的時候，該交易主體短期內就實現了“免疫”的目標，即短期內的總財富不受利率波動的影響。原理即把債券組合久期調整為0，這樣收益率變動就不會影響債券的價值。
02
債券的凸性
我們之前介紹了衡量債券價格對收益率變化敏感程度的指標久期，使用久期的確能較好地近似衡量收益率變化時債券價格大致變化了多少。但是，當收益率發生較大變化時，使用久期來計算債券價格的變化會有壹定誤差，比如表3中提到的債券：
表3債券信息簡要
我們知道其修正久期為2.7148，全價為100.8143元。如果收益率上升10個基點，即從3.8%上升到3.9%，重新計算的債券價格是100.5412元。按照久期調整的價格是
100.8143-0.1%×2.7148×100.8143=100.5406元，兩者之間差距不大。如果收益率上升100個基點，即從3.8%上升到4.8%，重新計算的債券價格是98.1278元。按照久期調整的價格是
100.8143-1%×2.7148×100.8143=98.0774元，有5分的差距。
從上述例子中可以看出，當收益率發生大規模移動時，使用久期來計算債券價格的變化會有壹定誤差，其原因是久期本身也會隨著收益率變化，因此為了更精準地衡量債券收益率變化對債券價格造成的影響，我們需要引入壹個新的概念，凸性。
債券的凸性是1984年斯坦利·迪勒（StanleyDiller）提出的概念,是對債券價格曲線彎曲程度的壹種度量。嚴格地講,凸性是指債券到期收益率發生變動而引起的債券價格變動幅度的變動程度。凸性是債券價格對收益率的二階導數。凸性越大,債券價格曲線彎曲程度越大,用修正久期度量債券的利率風險所產生的誤差越大。凸性也是債券久期對利率敏感性的測量。在價格—收益率出現大幅度變動時，它們的波動幅度呈非線性關系。由久期做出的預測將有所偏離。凸性就是對這個偏離的修正。
債券的凸性有以下幾點特征：
（1）凸性隨久期的增加而增加。若收益率、久期不變，票面利率越大，凸性越大。
（2）對於沒有隱含期權的債券來說，凸性總大於0，即利率下降，債券價格將以加速度上升；當利率上升時，債券價格以減速度下降。
（3）含有隱含期權的債券的凸性壹般為負，即價格隨著利率的下降以減速度上升，或債券的有效持續期隨利率的下降而縮短，隨利率的上升而延長。因為利率下降時買入期權的可能性增加了。
案例2
假如壹個債券的久期是5，凸性是30，如果收益率上升100基點，那麽債券價格的變化是：
-5×(1%)+1/2×30×1%×1%=-4.85%，價格下跌幅度比只用久期的計算（-5×1%）=-5%要低0.15%，那就是凸性的效果。
如果收益率下降100基點，那麽5×(1%)+1/2×30×1%×1%=5.15%，價格上漲幅度比只用久期的計算（5×1%）=5%要高0.15%。
通過案例2可以驗證，正凸性會導致債券價格在收益率下降時價格上升的幅度超過相同收益率上漲幅度時帶來的價格下跌幅度。