向量積，數學中又稱外積、叉積，物理中稱矢積、叉乘，是壹種在向量空間中向量的二元運算。與點積不同，它的運算結果是壹個向量而不是壹個標量。並且兩個向量的叉積與這兩個向量和垂直。其應用也十分廣泛，通常應用於物理學光學和計算機圖形學中。
兩個向量a和b的叉積寫作a×b（有時也被寫成a∧b，避免和字母x混淆）。?[1]?
定義
向量積可以被定義為：。
模長：（在這裏θ表示兩向量之間的夾角（***起點的前提下）（0°≤θ≤180°），它位於這兩個矢量所定義的平面上。）
方向：a向量與b向量的向量積的方向與這兩個向量所在平面垂直，且遵守右手定則。（壹個簡單的確定滿足“右手定則”的結果向量的方向的方法是這樣的：若坐標系是滿足右手定則的，當右手的四指從a以不超過180度的轉角轉向b時，豎起的大拇指指向是c的方向。）
也可以這樣定義（等效）：
向量積|c|=|a×b|=|a||b|sin<a，b>
即c的長度在數值上等於以a，b，夾角為θ組成的平行四邊形的面積。
而c的方向垂直於a與b所決定的平面，c的指向按右手定則從a轉向b來確定。
*運算結果c是壹個偽向量。這是因為在不同的坐標系中c可能不同。?[1]?
坐標運算
設=（），=（）。i，j，k分別是X，Y，Z軸方向的單位向量，則?[1]?：
a×b=（-）i+（-）j+（-）k，為了幫助記憶，利用三階行列式，寫成det
證明
為了更好地推導，我們需要加入三個軸對齊的單位向量i，j，k。
i，j，k滿足以下特點：
i=jxk；j=kxi；k=ixj；
kxj=–i；ixk=–j；jxi=–k；
ixi=jxj=kxk=0；（0是指0向量）
由此可知，i，j，k是三個相互垂直的向量。它們剛好可以構成壹個坐標系。
這三個向量的特例就是i=（1，0，0）j=（0，1，0）k=（0，0，1）。
對於處於i，j，k構成的坐標系中的向量u，v我們可以如下表示：
u=Xu*i+Yu*j+Zu*k；
v=Xv*i+Yv*j+Zv*k；
那麽uxv=（Xu*i+Yu*j+Zu*k）x（Xv*i+Yv*j+Zv*k）
=Xu*Xv*（ixi）+Xu*Yv*（ixj）+Xu*Zv*（ixk）+Yu*Xv*（jxi）+Yu*Yv*（jxj）+Yu*Zv*（jxk）+Zu*Xv*（kxi）+Zu*Yv*（kxj）+Zu*Zv*（kxk）
由於上面的i，j，k三個向量的特點，所以，最後的結果可以簡化為
uxv=（Yu*Zv–Zu*Yv）*i+（Zu*Xv–Xu*Zv）*j+（Xu*Yv–Yu*Xv）*k。?[1]?
與數量積的區別
註：向量積≠向量的積（向量的積壹般指點乘）
壹定要清晰地區分開向量積（矢積）與數量積（標積）。見下表。
幾何意義及其運用
叉積的長度|a×b|可以解釋成這兩個叉乘向量a，b***起點時，所構成平行四邊形的面積。據此有：混合積[abc]=（a×b）·c可以得到以a，b，c為棱的平行六面體的體積。?[1]?
代數規則
1、反交換律：a×b=-b×a
2、加法的分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。
3、與標量乘法兼容：（ra）×b=a×（rb）=r（a×b）。
4、不滿足結合律，但滿足雅可比恒等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。
5、分配律，線性性和雅可比恒等式別表明：具有向量加法和叉積的R3構成了壹個李代數。
6、兩個非零向量a和b平行，當且僅當a×b=0。?[1]?
拉格朗日公式
這是壹個著名的公式，而且非常有用：
證明過程
（a×b）×c=b（a·c）-a（b·c）
a×（b×c）=b（a·c）-c（a·b）
證明過程如下：
二重向量叉乘化簡公式及證明
可以簡單地記成“BAC-CAB”。這個公式在物理上簡化向量運算非常有效。需要註意的是，這個公式對微分算子不成立。
這裏給出壹個和梯度相關的壹個情形：
這是壹個霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。
另壹個有用的拉格朗日恒等式是：
這是壹個在四元數代數中範數乘法|vw|=|v||w|的特殊情形。?[2]?
矩陣形式
給定直角坐標系的單位向量i，j，k滿足下列等式：
i×j=k；
j×k=i；
k×i=j；
通過這些規則，兩個向量的叉積的坐標可以方便地計算出來，不需要考慮任何角度：設
a=[a1，a2，a3]=a1i+a2j+a3k；
b=[b1，b2，b3]=b1i+b2j+b3k；
則a×b=[a2b3-a3b2，a3b1-a1b3，a1b2-a2b1]。
叉積也可以用四元數來表示。註意到上述i，j，k之間的叉積滿足四元數的乘法。壹般而言，若將向量[a1，a2，a3]表示成四元數a1i+a2j+a3k，兩個向量的叉積可以這樣計算：計算兩個四元數的乘積得到壹個四元數，並將這個四元數的實部去掉，即為結果。更多關於四元數乘法，向量運算及其幾何意義請參看四元數（空間旋轉）。?[2]?
高維情形
七維向量的叉積可以通過八元數得到，與上述的四元數方法相同。
七維叉積具有與三維叉積相似的性質：
雙線性性：x×（ay+bz）=ax×y+bx×z；（ay+bz）×x=ay×x+bz×x；
反交換律：x×y+y×x=0；
同時與x和y垂直：x·（x×y）=y·（x×y）=0；
拉格朗日恒等式：|x×y|?=|x|?|y|?-（x·y）?；
不同於三維情形，它並不滿足雅可比恒等式：x×（y×z）+y×（z×x）+z×（x×y）≠0。
希望我能幫助妳解疑釋惑。