1.首先，我們需要定義矩陣的1-範數。對於n行m列的矩陣A，其1範數定義為所有列向量的每個元素的絕對值之和的最大值，即:
║A║1 = max{ ∑|aij| }，j=1，2，...，m
2.接下來我們需要證明上面的公式等於Max {∑| AI1 |，∑| AI2 |，...，∑| ain |}。對於每個列向量Ai，我們可以將其展開成壹個n維的列向量a=[a1，a2，...，an]T，其中ai表示向量Ai的第I個元素。
3.因為壹個矩陣的列向量與列線性無關，所以我們可以通過線性組合將每個列向量表示為其他列向量的和。例如，對於第壹列向量A1，我們有:
a 1 = a 1e 1+a2e 2+...+阿寧，
其中e1，e2，...，en表示第n維的單位向量。
4.根據絕對不等式，我們可以得到:
|ai1| + |ai2| +...+ |ain| ≤ |a1| + |a2| +...+ |an|
5.由此，我們可以得到:
∑| AIJ | = max {∑| AIJ | }≤∑| ai 1 |+∑| ai2 |+...+ ∑|ain|，
j=1，2，...，m
6.另壹方面，對於每個列向量Ai，我們也有:
∑|aij| ≤ ║A║1，
j=1，2，...，m
即矩陣的1-範數是所有列向量的絕對值之和的上界。
7.因此，我們得出以下結論:
max{ ∑|ai1|，∑|ai2|，……，∑| ain | }≤║a║1≤∑| ai 1 |+∑| ai2 |+...+ ∑|ain|，
j=1，2，...，m
8.根據以上結論，我們可以證明矩陣的1-範數的公式是║ a ║ 1 = max {∑| AI1 |，∑| AI2 |，...，∑| ain |}。