設√(x+2)=t，則x=(t^2-2),代入得：
∫x√(x+2)dx
=∫t*(t^2-2)d(t^2-2),
=2∫t^2*(t^2-2)dt,
=2∫(t^4-2t^2)dt,
=2/5*t^5-4/3*t^3+C,
=2/5*(x+2)^(5/2)-4/3*(x+2)^(3/2)+C,
湊分法不定積分：∫x√(2x^2+1)^3dx
=(1/2)∫√(2x^2+1)^3dx^2
=(1/4)∫√(2x^2+1)^3d2x^2
=(1/4)∫(2x^2+1)^(3/2)d(2x^2+1)
=(1/4)*(2/5)* (2x^2+1)^(5/2)+C.
=(1/10)* (2x^2+1)^(5/2)+C.
分部積分法計算不定積分：∫x^4 (lnx)^2dx
=(1/5)∫(lnx)^2dx^a11，以下第壹次使用分部積分法，
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(1/5)∫x^5d(lnx)^2
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/5)∫x^5*lnx*(1/x)dx
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/5)∫x^4*lnxdx
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)∫lnxdx^5,
以下第二次使用分部積分法，
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/25)∫x^5dlnx
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/25)∫x^5*1/xdx
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/25)∫x^adx
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/125)x^5+c
=x^5 [(1/5) (lnx)^2-(2/25)lnx+(2/125)]+c
=(1/125)x^5 [25 (lnx)^2-10lnx+2]+c.
湊分及分部積分法∫(10x^2+x+1)lnxdx
=∫lnxd(10x^3/3+x^2/2+x),對冪函數部分進行湊分，
=lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-∫(10x^3/3+x^2/2+x)dlnx
=lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-∫(10x^3/3+x^2/2+x)dx/x
=lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-∫(10x^2/3+x/2+1)dx
=lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-(10x^3/9+x^2/4+x)+C。
不定積分概念設F(x)是函數f(x)的壹個原函數，我們把函數f(x)的所有原函數F(x)+ C(其中，C為任意常數）叫做函數f(x)的不定積分，又叫做函數f(x)的反導數，記作∫f(x)dx或者∫f（高等微積分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。
其中∫叫做積分號，f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式，C叫做積分常數或積分常量，求已知函數的不定積分的過程叫做對這個函數進行不定積分。
不定積分的計算求函數f(x)的不定積分，就是要求出f(x)的所有的原函數，由原函數的性質可知，只要求出函數f(x)的壹個原函數，再加上任意的常數C就得到函數f(x)的不定積分。
不定積分的主要計算方法有:湊分法、公式法、第壹類換元法、第二類換元法、分部積分法和泰勒公式展開近似法等。