亞當.斯密是反對者之壹，因為人們過高估計了中獎的概率。
假設彩票兌獎10000次，但是組織機構為了賺錢，可能獲獎的名額只有1個，獎金肯定小於10000，比如就是6000元，所以妳買壹註，中將概率為1/10000，如果妳買2註，概率會稍微高壹點點，但是還是很低。如果妳買6000註，有60%中獎概率，40%不中獎，雖然中獎概率變大，但最好的結果也就就是不虧不贏。如果妳買10000註，那麽妳肯定會中獎，但是妳會虧4000元。（彩票案例）
亞當.斯密的推斷中缺失了“期望值”，什麽是期望值？對於每壹種可能的結果，將出現該結果的概率與該結果所對於的彩票價值相乘。假設1註彩票兌獎10000次，其中有9999次是無效的，有壹次是6000元，那麽：出現虧的概率為9999/10000,即沒有中獎，得到0元。出現獲利的概率為1/10000，得到6000元。故該彩票價值的期望值為（9999/10000）*0+（1/10000）*6000=0.6元
二、期望值並不是我們所期望的價值
雖然算出來“期望值”為0.6，但是我們期望的彩票價值是6000元，數學中的“期望值”概念並不是我們所期望的價值。
三、如何為終身年金保險定價
年金多少要考慮年齡，如老奶奶預期存活的時間短，因此購買終身年金保險時需要支付的錢應該小於比她年紀小的人所支付的金額。
向年輕人多收錢不是顯而易見的事情嗎？但事實並不是那麽顯而易見。
四、別玩強力球
1.別玩強力球，因為強力球彩票期望值小於花費金額，不值得購買。
2.如果壹定要買強力球，等到累計獎金非常高的時候再買。
3.盡可能降低與其他人分享大家的概率。
強力球只是彩票的壹種形式，所有彩票都有壹個***同特點：勝算不大。
五、麻省理工學院學生買彩票的故事
但是，也有例外，比如“cash winfall”彩票，該彩票獎金規則：如果壹周之內沒有人領走累積獎金，獎金就會向下分配，增加容易贏取的獎項的金額，累積獎金將會被重置，在下壹次開獎時降到50萬美元的最低額度。
獎金向下分配時，回報率會大大增加，每張彩票的期望值就增加，這時候麻省理工的大學生壹次性買1000張彩票，這就是期望值的相加性。
六、布封的硬幣、縫衣針和面條問題
硬幣問題：把硬幣扔到壹個方形地磚上，硬幣是完全落在壹塊磚上還是騎在磚縫上。