第壹，教學大綱的要求
十進制整數及其表示。整除性，被2，3，4，5，8，9，11等數整除的判斷。
質數和合數。最大公約數和最小公倍數。
奇偶數，奇偶分析。帶余數的除法和帶余數的分類。
完全平方數。因子分解的表示，除數的計算。
二、具體內容
(A)整除性(若A是B的倍數，則稱A能被B整除，記為b│a)
1，若a│b，b│c，則a│c；如果b│a，那麽b│ka(其中k是任意整數)
2、若a│b，a│c，則a│b c；如果a│m，b│m，那麽[a，b] │ m。
3.如果m│ab且(m，a)=1，那麽如果m │ B。
4.p是質數。如果p│ab，那麽p│a或者P │ B。
5.兩個連續整數的乘積必須能被2整除；三個連續整數的乘積必須能被6整除；
概括:n個連續整數的乘積壹定是n！可分的
6.整除性的常用判斷方法:(補充)
(1)能被9整除:所有位數之和是9的倍數；
(2)除以4(或25):後兩位數是4(或25)的倍數；
(3)除以8(或125):後三位是8的倍數(或125)；
(4)除以11:奇數之和與偶數之和之差是11的倍數。
(2)質數和合數
1，2是最小的素數，也是唯壹的偶數素數(常用於‘素數分析’)。
2.如果正整數A是壹個合數，那麽壹定有壹個質因數P ≤√ A。
(否定命題:對於a≥1，如果所有小於等於√a的素數都不能被A整除，那麽A是壹個素數。
-常用於驗證壹個整數是否為質數)
3.(唯壹分解定理)任何大於1的合數都可以分解成幾個素數因子的冪的乘積，並且分解形式是唯壹的。
(3)最大公約數(a，b)和最小公倍數[a，b]
1，方法:短除法，折騰除法。
2.如果(A，b)=1，則稱A和B互質。
3.如果(a，b)=1，那麽(a，bc)=(a，c)。
4.約數定理
(4)奇數和偶數，奇偶性(奇數常表示為2k 1，偶數常表示為2k，其中k為整數)。
1，兩個連續的整數必須是奇數和偶數，即n(n+1)必須是偶數。
奇數和偶數
奇數偶數奇數
偶數奇數偶數
產品奇偶數
奇數奇數偶數
甚至甚至甚至甚至。
2、
3.如果幾個整數之和是奇數，那麽奇數的個數壹定是奇數；
如果幾個整數的乘積是偶數，那麽至少有壹個是偶數；
如果幾個整數的乘積是奇數，那麽所有的因子壹定都是奇數；
(5)完全平方數(可以寫成另壹個整數的平方)
1.常見的分析方法:假設完全平方數m=n2，然後通過因子分解進行分析。
2.偶數的平方必須是4的倍數，奇數的平方除以8余數是1。
3.兩個相鄰整數的平方之間的整數都不是完全平方。
4、壹些常用的結論(規則):
單位數為2、3、7、8的整數壹定不能完全平方；
個位數和十位數為奇數的整數壹定不能完全平方；
個位數為6，偶數為十位數的整數壹定不是完整的平方數；
形狀為3n+2的整數壹定不是完整的平方數；
4n+2和4n+3類型的整數不能完全平方；
8n+2、8n+3、8n+5、8n+6、8n+7形式的整數壹定不是完全平方的；
總和為2、3、5、6和8的整數不能是完整的平方數。
第三，選定的例子
例1(1986，全國初中數學聯賽)設A，B，C為三個互不相等的正整數，證明:
a3b-ab3 b3c-bc3 c3a-ca3數中至少有壹個能被10整除。
解析:本題綜合運用了因式分解、奇偶分析、整除分析、分類討論等知識。
例2(2005年，全國初中數學聯賽)對於壹個自然數，如果能找到自然數A和B使得n=a+b+ab，則稱n為“好數”。在‘1-20’的20個自然數中，* *有壹個“好數”。
解析:本題目主要考察因式分解和素數分析。
例3(2006年，全國初中數學聯賽)不超過100的自然數。把所有3或5的倍數相加，總和是
解析:本題目主要考察整數的同余分類。
例4(2007年，全國初中數學聯賽)小明的電話號碼原本是六位數字，第壹次升級是在第壹個數字和第二個數字之間加了數字8成為七位數字的電話號碼；第二個推廣是在第壹個數字前加數字2成為壹個八位數的電話號碼。小明發現兩次促銷後他家電話號碼的八位數正好是原電話號碼六位數的81倍，所以小明的原電話號碼是
解析:本題主要考察整數的十進制表示。
例5(2007年全國初中數學聯賽武漢卡西歐杯選拔賽)設置分數n-135n+6 (n≠13)不是最簡分數，所以正整數n的最小值可以是()。
a、84 B、68 C、45 D、115
解析:本題主要考察最簡分數的意義、輪流除法、整除性分析等。
例6(1989，天津市“辛雷杯”初二數學競賽)設A、B、C三個整數的最大公約數為1，滿足條件1a +1b =1c。證明:(a+b)，。
例7(第二屆“從小熱愛數學”競賽)圖3-2是壹個淺湖的平面圖，圖中所有曲線都是湖岸。
(1)如果P點在岸上，那麽A點是在岸上還是在水裏？
(2)有人過這個湖，下水就脫鞋，上岸就穿鞋。如果有壹個B點，他脫鞋和穿鞋的次數之和是奇數，那麽B點是在岸上還是在水裏？給出理由
例8(1980，加拿大數學競賽)設72 | A679b，試求a和b的值..
第四，鞏固練習
1(2008年19希望杯第二次測試)壹個2000位整數的最高位數是3，這個數中任意兩個相鄰的數字都可以看作壹個兩位數。這個兩位數可以被17或23整除。這個整數的後六位分別是或。
2(1983，福建數學競賽)壹個四位數是奇數，千位數小於其他位數，百位數大於其他位數，十位數等於前後兩位數之和的兩倍。那麽這個四位數就是
3(1989，全國初中數學聯賽)十進制中，每壹位都是0或1，能被225整除的最小自然數是_ _ _ _ _ _。
4(1989，第二屆“祖沖之杯”初中數學邀請賽)甲乙雙方共同養了N只羊，每只羊的賣價正好是N元。所有的羊賣完之後，他們之間的分錢方法是:甲方先拿十元，然後乙方拿十元，以此類推，最後，輪到乙方拿。為了平分，A要供給B元？
5(2010，15華金杯少年數學邀請賽第壹場決賽)三個三位數abb，bab，bba，由數字A和B組成，它們的和為2331，所以a+b的最大值為
6(2010第八屆“走進數學的奇妙花園”趣味數學技能展第二組)19糖果盒排成壹排，中間的盒子裏放壹顆糖。從這裏到右邊，每壹個盒子都比前壹個盒子多了m個糖果；從這裏向左，每個盒子比前壹個多n個糖果(a，m，n都是正整數)。如果糖果的總數是2010，那麽A的所有可能數之和是
7(2000年第十二屆“五羊杯”初中數學競賽第二組)設自然數X >；y，x+y = 667，x和y的最小公倍數為p，最大公約數為q，p = 120q，則x-y的最大值為
8(2001，第十三屆“五羊杯”初中數學競賽第壹組)右式中，每個漢字代表0、L、2、…、9中的壹個數，不同的漢字代表不同的數。那麽其中的“新”字就代表()。
9 (B)8 (C)2 (D)1
設p和q是大於100的任意兩個素數，那麽p2-1和q2-l的最大公約數的最小值為
10(2003年第十五屆“五羊杯”初中數學競賽初三組)用有余數的自然數除，有公式A ÷ B = C … 27。如果b
公元2003年至公元3004年
11(1998，全國初中數學聯賽)滿足19982+m2 = 19972+N2(0
12(2009年第20屆“希望杯”全國數學邀請賽初試)。由數字1、2、3、4、5、6組成的不重復的三位數中，是9的倍數的數是()。
12 B.18 C.20 D.30